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Unit 12

입체도형의 겉넓이와 부피

카발리에리가 단면 한 장에서 모든 부피를 풀어낸 단원

보나벤투라 카발리에리 (1598~1647) · 이탈리아

← 지난 단원: 다면체와 회전체

"두 입체가 같은 높이에서 모든 단면의 넓이가 같으면, 두 입체의 부피도 같다."

— 보나벤투라 카발리에리, 「Geometria Indivisibilibus」 (1635)

무엇을 배울까요?

각기둥 겉넓이·부피
옆넓이 = 둘레×높이
$V = Sh$
직육면체·정육면체
각뿔 겉넓이·부피
$V = \frac{1}{3}Sh$
★ 왜 1/3인가
원기둥 겉넓이·부피
$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$
$V = \pi r^2 h$
원뿔 겉넓이·부피
모선 $l$과 부채꼴 옆면
$S = \pi r^2 + \pi r l$
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
구의 겉넓이 $4\pi r^2$
구의 부피 $\frac{4}{3}\pi r^3$
반구
★ 카발리에리 원리
1:2:3 비율

학습 자료

카발리에리 이야기

단면을 쌓아 입체를 만든 갈릴레오의 제자, 약한 몸으로 30년

탐험 · 직접 만지기

직육면체 겉넓이·부피와 '뿔=기둥의 1/3'을 직접 조작해요

인터랙티브

각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구의 전개도와 부피 슬라이더

인터랙티브

문제 연습

단원 전체를 고루 확인하는 기본 문제 9개

유형별 연습 · 깊이 탐구

7가지 유형 + 단계별 풀이 walkthrough (H문제 21개)

유형별 연습

유형 1 · 각기둥의 겉넓이·부피

옆넓이 = 둘레 × 높이, $V = Sh$

유형 2 · 각뿔의 겉넓이·부피 (★)

옆면 삼각형 합, $V = \frac{1}{3}Sh$

유형 3 · 원기둥의 겉넓이·부피

$S=2\pi r^2+2\pi rh$, $V=\pi r^2 h$

유형 4 · 원뿔의 겉넓이·부피 (★)

부채꼴 옆면 $\pi r l$, 모선 vs 높이

유형 5 · 구의 겉넓이·부피

$S = 4\pi r^2$, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, 반구

유형 6 · 회전체 부피 (Unit 11 연계)

평면도형 → 회전체 → 원기둥·원뿔·구의 부피

유형 7 · 복합 입체 (★)

원기둥+반구, 큰입체−작은입체, 1:2:3 비율

심화 탐구

각기둥·각뿔 깊이 탐구

유형 1·2 통합 · 옆넓이 = 둘레×높이 + ★ 1/3

원기둥·원뿔·구 깊이 탐구

유형 3·4·5 통합 · ★ h vs l, 반구 평면원

회전체·복합 입체 깊이 탐구

유형 6·7 통합 · 카발리에리 단면, 1:2:3 비율