깊이 탐구 — 각기둥·각뿔 통합 (유형 1+2)

밑면 모양에 맞춰 곱하기 — ★ 각뿔에서 $\frac{1}{3}$ 빼먹지 말기
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★핵심 전략 — 각기둥

$V_{각기둥}$ = 밑넓이 $\times$ 높이 = $Sh$
$S_{겉}$ = 두 밑면 + 옆넓이 = $2S + (둘레 \times h)$
옆넓이 계산의 정석: "옆면 직사각형을 모두 합치면 가로 = 밑면 둘레, 세로 = 기둥 높이". 따라서 옆넓이 $=$ 둘레 $\times$ 높이. (5각·6각형이면 옆면 5개·6개 더하는 것보다 훨씬 빠름.)
★ 밑면 모양별 밑넓이 공식 정리: 정사각형 $a^2$, 직사각형 $ab$, 삼각형 $\frac{1}{2}\cdot$ 밑변 $\cdot$ 높이, 사다리꼴 $\frac{1}{2}(a+b)h$. 이게 모든 각기둥 계산의 출발점.

📝대표 문제

L밑면 직사각형 각기둥
밑면 $5\times 3$, 높이 $8$인 사각기둥의 부피와 겉넓이.
$V = 15 \times 8 = 120$ cm³. 옆넓이 = $2(5+3)\times 8 = 128$. 두 밑면 = $30$. 겉넓이 = $158$ cm².
M역산 (부피로 모서리 찾기)
정육면체 부피가 $343$ cm³일 때 한 모서리는?
$a^3 = 343$ → $a = 7$ ($7^3 = 343$). 외울 세제곱: $2^3=8, 3^3=27, 4^3=64, 5^3=125, 6^3=216, 7^3=343$.
H닮음비 → 부피·겉넓이 비
두 정육면체 모서리 비 $1:k$일 때 부피 비? 겉넓이 비?
부피 비 $1 : k^3$, 겉넓이 비 $1 : k^2$. (예: $k=3$이면 부피 27배, 겉넓이 9배.) → 닮음의 법칙: 길이 $k$배 → 넓이 $k^2$배, 부피 $k^3$배.

⚠️자주 하는 실수

• 옆면 5~6개 일일이 더하다 빠뜨림 → 둘레 × 높이로 한 번에.
• 직육면체 6면 중 같은 모양 짝 빠뜨림 → 가로×세로 2장, 세로×높이 2장, 가로×높이 2장.
• 단위 cm² (겉넓이) vs cm³ (부피) 혼동 — 답란에 단위 미리 적어두기.

🔗연결되는 개념

• Unit 09 사다리꼴 넓이 → 사다리꼴 밑면 각기둥
• Unit 11 회전체 → 직사각형 회전 = 원기둥 (유형 3에서)
• 닮음의 법칙 → 중2 도형의 닮음으로 확장

★핵심 전략 — 각뿔

$V_{각뿔} = \frac{1}{3}\times$ 밑넓이 $\times$ 높이 $= \frac{1}{3}Sh$
$S_{겉}$ = 밑면 1개 + 합동 옆면들 (정각뿔의 경우)
왜 $\frac{1}{3}$? 카발리에리 원리로 증명: 정육면체를 세 개의 합동 사각뿔로 분할할 수 있음 (각 사각뿔의 밑면 = 정육면체 한 면, 높이 = 정육면체 모서리). 세 개가 정육면체를 정확히 채우므로 각 사각뿔 = $\frac{1}{3}$ × 정육면체.
★ 옆면 = 삼각형들. 정각뿔이면 옆면 모두 합동 → 옆면 1개 넓이 × 개수. 일반 각뿔이면 각 옆면 따로 계산.

📝대표 문제

L사각뿔 부피 (가장 흔한 함정)
밑면 $6\times 6$, 높이 $5$인 사각뿔의 부피.
$V = \frac{1}{3}\times 36 \times 5 = 60$ cm³. ⚠️ $\frac{1}{3}$ 빼먹으면 $180$ — 오답.
M정사각뿔 옆면이 정삼각형?
밑면 정사각형 한 변 $6$ + 모든 옆 모서리 $6$일 때, 옆면 한 개는 어떤 삼각형?
옆면 세 변 = $(6, 6, 6)$ → 정삼각형. 단, 이 입체는 정사면체가 아니라 정사각뿔 (밑면이 정사각형이므로). 헷갈리기 쉬운 함정.
H각뿔대 (큰 뿔 − 작은 뿔)
큰 사각뿔 (밑변 $6$, 높이 $9$)에서 꼭짓점 쪽 닮은 사각뿔 (밑변 $2$, 높이 $3$)을 잘라낸 각뿔대 부피.
$V_{큰} = \frac{1}{3}\times 36 \times 9 = 108$. $V_{작은} = \frac{1}{3}\times 4 \times 3 = 4$. 각뿔대 $= 108 - 4 = 104$ cm³.

⚠️자주 하는 실수

• ★★★ $\frac{1}{3}$ 빼먹기 — 가장 흔한 시험 실수. 각뿔·원뿔에서 매번 확인.
• 각뿔 "높이"와 옆면 삼각형의 "높이(모선/사면 높이)"를 혼동 → 둘은 다른 길이.
• 옆면 4개가 합동인 것은 정각뿔일 때만. 일반 각뿔은 옆면 모양이 다 다를 수 있음.

🔗연결되는 개념

• 유형 4 (원뿔): 원뿔도 같은 $\frac{1}{3}$ 함정
• 유형 7 (1:2:3 비율): 원뿔 = $\frac{1}{3}$ × 원기둥, 구 = $\frac{2}{3}$ × 원기둥
• 카발리에리 원리 — story/unit12.md 5장 참조

⚖️각기둥 vs 각뿔 — 한눈에

같은 밑면 $S$, 같은 높이 $h$일 때:
  • $V_{기둥} = Sh$
  • $V_{뿔} = \frac{1}{3}Sh$
  • 뿔은 기둥의 정확히 1/3
→ 카발리에리: 같은 단면 → 같은 부피 적분
★ 왜 1/3인가 (직관)
정육면체를 한 꼭짓점에서 마주 보는 꼭짓점으로 세 번 자르면 → 세 합동 사각뿔. 각 사각뿔의 밑면 = 정육면체 한 면, 높이 = 모서리. 세 개 합 = 정육면체 → 각 사각뿔 = $\frac{1}{3}$.
이 직관은 모든 뿔에 일반화됨 (밑면 모양 무관).

🧮통합 연습

M같은 밑면·높이의 기둥·뿔 부피 비
밑면이 한 변 $4$인 정사각형, 높이 $9$인 정사각기둥과 정사각뿔의 부피 비 $V_{기둥}:V_{뿔}$?
$V_{기둥} = 16 \times 9 = 144$. $V_{뿔} = \frac{1}{3}\times 144 = 48$. 비 $= 144 : 48 = 3 : 1$ (= 항상 $3:1$).
H닮은 두 뿔의 부피 비
닮음비가 $1:2$인 두 사각뿔. 부피 비?
길이 $1:2$ → 부피 $1:8$ (세제곱). 겉넓이 $1:4$ (제곱). $\frac{1}{3}$이 양쪽에 똑같이 들어가므로 비율에 영향 없음.
H밑면·높이 적분 직관
밑면 모양이 무엇이든(삼각형, 오각형, 별 모양…) 기둥·뿔 부피 공식이 똑같이 적용되는 이유?
★ 카발리에리: 어떤 입체든 같은 높이에서 같은 단면적이면 같은 부피. 기둥은 모든 단면이 합동 → $V = Sh$. 뿔은 단면이 선형 축소 → 적분하면 $\frac{1}{3}Sh$. 밑면 모양은 영향 없음.

💎이것만은 기억

1. 각기둥 $V = Sh$. 각뿔 $V = \frac{1}{3}Sh$.
2. 옆넓이 = 둘레 × 높이 (기둥). 옆면 합 (뿔).
3. ★ 뿔에서 $\frac{1}{3}$ 빠뜨리지 말기.
4. 단위: 길이 cm, 넓이 cm², 부피 cm³.
5. 닮음비 $k$ → 부피 $k^3$, 넓이 $k^2$.