유형 4 — 원뿔의 겉넓이·부피

반지름 $3$ cm, 높이 $4$ cm인 원뿔의 부피는?
① $4\pi$ cm³ ② $12\pi$ cm³ ③ $24\pi$ cm³ ④ $36\pi$ cm³

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. 부피는 높이 $h$를 사용 (모선 $l$ 아님!)

② $12\pi$ cm³
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi$ cm³.
⚠️ ④ $36\pi$는 $\frac{1}{3}$ 빼먹은 답 — 원기둥 부피와 같아짐. 원뿔에서 $\frac{1}{3}$ 꼭 챙기기.

반지름 $5$ cm, 모선 $8$ cm인 원뿔의 옆넓이만 구하면?
① $20\pi$ cm² ② $25\pi$ cm² ③ $40\pi$ cm² ④ $80\pi$ cm²

원뿔 옆넓이 = $\pi r l$ (반지름 $\times$ 모선 $\times \pi$).

③ $40\pi$ cm²
$\pi r l = \pi \times 5 \times 8 = 40\pi$ cm².
⚠️ ② $25\pi$는 밑면 넓이 $\pi r^2 = 25\pi$. 옆넓이와 헷갈리지 마세요.

반지름 $4$ cm, 모선 $6$ cm인 원뿔의 겉넓이(밑면 + 옆면 전체)는?
① $16\pi$ cm² ② $24\pi$ cm² ③ $32\pi$ cm² ④ $40\pi$ cm²

$S = \pi r^2 + \pi r l$ (밑면 + 옆면).

④ $40\pi$ cm²
밑면 = $\pi \times 4^2 = 16\pi$. 옆면 = $\pi \times 4 \times 6 = 24\pi$.
$S = 16\pi + 24\pi = 40\pi$ cm².
⚠️ 원뿔은 밑면이 1개뿐 (원기둥은 2개) — 헷갈리지 마세요.

반지름 $4$ cm, 모선 $12$ cm인 원뿔의 옆면 전개도(부채꼴)의 중심각은?
① $90°$ ② $120°$ ③ $180°$ ④ $270°$

부채꼴의 호 = 밑면 원 둘레. 중심각 $\theta = \dfrac{r}{l} \times 360°$.

② $120°$
중심각 $\theta = \dfrac{r}{l}\times 360° = \dfrac{4}{12}\times 360° = \dfrac{1}{3}\times 360° = 120°$.
★ 직관: 부채꼴 호 길이 = $2\pi r = 8\pi$ = 큰 원(반지름 $l = 12$) 둘레 $24\pi$의 $\dfrac{1}{3}$ → 중심각도 $360°$의 $\dfrac{1}{3}$.

반지름 $3$ cm, 높이 $4$ cm, 모선 $5$ cm인 원뿔의 부피와 옆넓이를 차례로 쓰면?
① $12\pi$ cm³, $15\pi$ cm² ② $15\pi$ cm³, $12\pi$ cm² ③ $20\pi$ cm³, $15\pi$ cm² ④ $12\pi$ cm³, $20\pi$ cm²

★ 부피는 $h$, 옆넓이는 $l$ 사용!

① $12\pi$ cm³, $15\pi$ cm²
부피 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\times \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ cm³.
옆넓이 $= \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$ cm².
⚠️ ★★★ 부피에 $l=5$를 쓰면 $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 5 = 15\pi$ (오답). 옆넓이에 $h=4$ 쓰면 $\pi \times 3 \times 4 = 12\pi$ (오답). 둘이 정확히 맞바뀌어 보임 — 가장 흔한 실수!

반지름 $5$ cm, 모선 $13$ cm인 원뿔의 높이를 구하시오. (피타고라스 단순 값 $5, 12, 13$ 활용)
① $8$ cm ② $10$ cm ③ $12$ cm ④ $14$ cm

반지름·높이·모선이 직각삼각형을 이룸 ($l$이 빗변). $h^2 + r^2 = l^2$.

③ $12$ cm
$h^2 + 5^2 = 13^2$ → $h^2 = 169 - 25 = 144$ → $h = 12$ cm. (피타고라스 $5,12,13$).
★ 원뿔에서 축단면(이등변삼각형)을 반으로 자르면 직각삼각형 ($r, h, l$).

반지름 $4$ cm, 모선 $9$ cm인 원뿔. 옆면 전개도(부채꼴)의 넓이를 두 가지 방법으로 확인하세요.
(A) $\pi r l$ 공식
(B) 부채꼴 넓이 = $\frac{1}{2}\times$ 호 $\times$ 반지름(모선)
두 방법의 결과로 옳은 것은?
① 둘 다 $18\pi$ cm² ② 둘 다 $36\pi$ cm² ③ (A) $36\pi$, (B) $18\pi$ ④ 두 값이 다르다

호 = 밑면 둘레 = $2\pi r = 8\pi$. (B) = $\frac{1}{2}\times 8\pi \times 9$.

② 둘 다 $36\pi$ cm²
(A) $\pi r l = \pi \times 4 \times 9 = 36\pi$ cm².
(B) 호 = $2\pi r = 8\pi$. 넓이 = $\frac{1}{2}\times 8\pi \times 9 = 36\pi$ cm².
★ 두 식이 정확히 같음: $\pi r l = \frac{1}{2}(2\pi r)(l)$.
이게 카발리에리의 "단면을 펴서 적분" 직관의 작은 예 — 곡면도 평면처럼 다룰 수 있다는 메시지.

반지름 $6$ cm, 높이 $8$ cm인 큰 원뿔에서 꼭짓점 쪽에서 잘라 반지름 $3$ cm, 높이 $4$ cm인 작은 원뿔을 떼어냈어요. 남은 원뿔대의 부피는?
① $60\pi$ cm³ ② $84\pi$ cm³ ③ $96\pi$ cm³ ④ $108\pi$ cm³

큰 원뿔 부피 − 작은 원뿔 부피.

② $84\pi$ cm³
큰 원뿔: $V_{큰} = \frac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 8 = \frac{1}{3}\times 36\pi \times 8 = 96\pi$ cm³.
작은 원뿔: $V_{작은} = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3}\times 9\pi \times 4 = 12\pi$ cm³.
원뿔대 부피 = $96\pi - 12\pi = 84\pi$ cm³.

직각변이 $3$ cm, $4$ cm이고 빗변이 $5$ cm인 직각삼각형을 높이가 $4$인 직각변을 축으로 한 바퀴 돌렸어요. 만들어지는 원뿔의 부피와 옆넓이를 차례로 쓰면?
① $12\pi$ cm³, $15\pi$ cm² ② $16\pi$ cm³, $20\pi$ cm² ③ $12\pi$ cm³, $20\pi$ cm² ④ $16\pi$ cm³, $15\pi$ cm²

축이 $4$ cm 직각변 → 높이 $h=4$, 반지름 $r=3$, 모선 $l=5$(빗변).

① $12\pi$ cm³, $15\pi$ cm²
$r = 3, h = 4, l = 5$인 원뿔.
부피 $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ cm³.
옆넓이 $= \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$ cm².
★ 회전체에서 직각삼각형의 빗변이 자동으로 원뿔 모선이 됨 — Unit 11과 핵심 연결점.