1. 겉넓이와 부피, 그리고 단위
겉넓이(surface area, $S$) = 입체의 모든 면의 넓이의 합. 입체를 종이로 감쌀 때 종이의 넓이.
부피(volume, $V$) = 입체가 차지하는 공간의 크기. 그 안에 물을 부으면 들어가는 양.
💚 단위 함정 ⚠️
겉넓이의 단위 = $\text{cm}^2$ (제곱센티미터) — 평면이니까 2차원.
부피의 단위 = $\text{cm}^3$ (세제곱센티미터) — 입체니까 3차원.
답을 쓸 때 cm² ↔ cm³ 혼동이 시험에서 가장 흔한 감점 이유예요!
이 단원에서 만날 다섯 입체
🔍 모든 공식 뒤에는 카발리에리 원리 하나: "같은 단면이면 같은 부피". 이 단원의 핵심이에요.
3. 각뿔의 겉넓이와 부피 ★ 1/3
각뿔: 밑면이 다각형, 옆면이 모두 삼각형, 한 꼭짓점에서 만남. 밑넓이 $S$, 높이 $h$.
겉넓이
$S_{\text{전체}} = (\text{밑넓이}) + (\text{옆면 삼각형들의 넓이의 합})$
정$n$각뿔이면 옆면 $n$개가 합동 → 한 옆면 넓이 × $n$.
부피 ★ 1/3 빼먹지 마세요!
★ $V = \dfrac{1}{3} \times (\text{밑넓이}) \times (\text{높이}) = \dfrac{1}{3} S h$
왜 1/3인가? (카발리에리 직관)
일반 각뿔도 카발리에리 원리로 1/3이 증명돼요. 같은 높이에서 단면적이 똑같은 비율로 줄어들기 때문이에요.
⚠️ 각뿔의 높이 ≠ 모선! 높이 $h$는 꼭대기에서 밑면에 수직으로 내린 선. 옆면 삼각형의 빗변(모선)과 다릅니다.
🎯 직접 만져보기 — 정사각뿔
4. 원기둥의 겉넓이와 부피
원기둥: 밑면이 합동인 두 원, 옆면이 곡면. 반지름 $r$, 높이 $h$.
겉넓이
★ $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
도출:
- 두 밑면 (위·아래 원): $2 \times \pi r^2 = 2\pi r^2$
- 옆면을 펼치면 직사각형: 가로 = $2\pi r$ (밑면 둘레), 세로 = $h$ → 옆넓이 = $2\pi r h$
부피
★ $V = \pi r^2 h$ (밑넓이 × 높이)
🎯 직접 만져보기 — 원기둥
5. 원뿔의 겉넓이와 부피 ★ h vs $l$
원뿔: 밑면이 원, 옆면이 곡면, 한 꼭짓점에서 만남.
반지름 $r$, 높이 $h$ (수직 거리), 모선 $l$ (옆 비스듬한 거리).
💚 세 변수 사이 관계 (피타고라스): $l^2 = r^2 + h^2$.
예: $r=3, h=4$이면 $l=5$. $r=5, h=12$이면 $l=13$.
중1에서는 $r, h, l$ 중 두 개가 주어지면 나머지를 단순 계산.
겉넓이
★ $S = \pi r^2 + \pi r l$
옆면을 펼치면 부채꼴:
- 부채꼴 반지름 = 원뿔 모선 $l$
- 부채꼴 호 = 밑면 둘레 $2\pi r$
- 부채꼴 넓이 = $\frac{1}{2} \times 호 \times 반지름 = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi r l$
부피 ★ 1/3 빼먹지 마세요!
★ $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$ (높이 $h$ 사용 — 모선 아님!)
부채꼴 중심각
$\theta = \dfrac{r}{l} \times 360°$
도출: 부채꼴 호 = 밑면 둘레 → $\frac{\theta}{360°} \times 2\pi l = 2\pi r$ → $\theta = \frac{r}{l} \cdot 360°$.
⚠️ 높이 $h$와 모선 $l$ 혼동 ★★★
• 부피에는 높이 $h$ 사용 ($\frac{1}{3}\pi r^2 h$)
• 겉넓이(옆넓이)에는 모선 $l$ 사용 ($\pi r l$)
가장 흔한 시험 함정!
6. 구의 겉넓이와 부피, 그리고 1:2:3 비율
구: 공간의 한 점(중심)에서 같은 거리에 있는 모든 점들의 집합. 반지름 $r$. 전개도 없음.
겉넓이
★ $S = 4\pi r^2$ (= 같은 반지름 원 넓이 × 4)
부피
★ $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$
★ 아르키메데스/카발리에리 1:2:3 비율
같은 반지름 $r$, 높이 $2r$인 원뿔 : 구 : 원기둥 부피 비:
또한 원기둥 = 구 + 원뿔 × 2 (부피상). 카발리에리 원리로 깔끔히 증명돼요.
반구 (Hemisphere)
| 식 | 주의 |
|---|
| 반구 겉넓이 | $2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$ | ★ 평면 원 $\pi r^2$ 빠뜨리지 마세요! |
| 반구 부피 | $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ | 구 부피의 절반 |
⚠️ 반구 겉넓이 = $3\pi r^2$ (둥근 표면 $2\pi r^2$ + 평면 원 $\pi r^2$). 평면 원을 빠뜨려서 $2\pi r^2$만 답하는 실수가 흔해요!
🎯 직접 만져보기 — 구
7. 카발리에리 원리와 마무리
★ 카발리에리 원리: 같은 높이의 두 입체에서, 모든 높이에서 단면의 넓이가 항상 같으면 두 입체의 부피는 같다.
이 한 줄이 이 단원 모든 공식의 뿌리예요:
- 각뿔 = 각기둥의 1/3
- 원뿔 = 원기둥의 1/3
- 구 = 원기둥 − 원뿔×2 → $\frac{4}{3}\pi r^3$
- 1:2:3 비율 (원뿔:구:원기둥)
전체 공식 한눈에 보기
| 입체 | 겉넓이 $S$ | 부피 $V$ |
|---|
| 각기둥 | $2S_{밑} + 둘레 \cdot h$ | $S_{밑} \cdot h$ |
| 각뿔 | $S_{밑} + \sum S_{삼각형}$ | $\frac{1}{3} S_{밑} \cdot h$ |
| 원기둥 | $2\pi r^2 + 2\pi r h$ | $\pi r^2 h$ |
| 원뿔 | $\pi r^2 + \pi r l$ | $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| 구 | $4\pi r^2$ | $\frac{4}{3}\pi r^3$ |
| 반구 | $3\pi r^2$ | $\frac{2}{3}\pi r^3$ |
📝 직접 써보기 — 빈칸 채우기
• 각뿔/원뿔 부피 공식의 가장 흔한 실수: 를 빼먹는 것
• 반구 겉넓이 = $2\pi r^2$ + = $3\pi r^2$
• 원뿔 부피에 들어가는 변수는 모선 $l$이 아니라
• 겉넓이의 단위는 $\text{cm}^?$ → / 부피의 단위 →
💙 이제
문제 연습으로 가서 직접 풀어봐요.
기본 문제 9개 → 유형별 연습 → 깊이 탐구 순서.