가로 $3$ cm, 세로 $5$ cm인 직사각형을 가로($3$)를 축으로 한 바퀴 돌렸어요. 만들어진 입체의 부피는? ① $15\pi$ cm³ ② $45\pi$ cm³ ③ $75\pi$ cm³ ④ $225\pi$ cm³
가로(축에 평행) = 원기둥 높이 $h$. 세로(축에 수직) = 반지름 $r$.
③ $75\pi$ cm³ 축 = 가로 $3$ → 높이 $h = 3$, 반지름 $r = 5$. $V = \pi r^2 h = \pi \times 25 \times 3 = 75\pi$ cm³. ⚠️ 축을 세로로 잡으면 반지름 $3$, 높이 $5$가 되어 $V = 45\pi$ — 다른 입체. 회전축이 어디인지가 핵심!
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L
직각삼각형(직각변 $3$, $4$)을 $3$cm 직각변을 축으로 회전했어요. 만들어진 원뿔의 부피는? ① $4\pi$ cm³ ② $12\pi$ cm³ ③ $16\pi$ cm³ ④ $48\pi$ cm³
축 = $3$cm 변 → 높이 $h = 3$, 다른 직각변 $4$ = 반지름 $r$.
③ $16\pi$ cm³ $r = 4, h = 3$ 원뿔. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 16 \times 3 = 16\pi$ cm³. ⚠️ ④ $48\pi$는 $\frac{1}{3}$ 빼먹음.
3
L
반지름 $4$ cm인 반원을 지름을 축으로 한 바퀴 돌렸어요. 만들어진 입체의 부피는? ① $\frac{128}{3}\pi$ cm³ ② $\frac{256}{3}\pi$ cm³ ③ $\frac{4}{3}\pi$ cm³ ④ $64\pi$ cm³
반원을 지름축으로 회전 → 구. $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
② $\frac{256}{3}\pi$ cm³ 반원을 지름축으로 돌리면 구. $V = \frac{4}{3}\pi \times 4^3 = \frac{4}{3}\pi \times 64 = \frac{256}{3}\pi$ cm³.
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M
사다리꼴(평행한 두 변 $2$ cm, $5$ cm, 두 평행변 사이 거리 = 사다리꼴의 다리 길이 $4$ cm)을 그 다리(길이 $4$)를 축으로 회전했어요. 만들어지는 원뿔대의 부피는? (두 밑면 반지름 $R=5, r=2$, 높이 $h=4$ 원뿔대 공식 $V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$ 사용) ① $39\pi$ cm³ ② $52\pi$ cm³ ③ $\frac{156\pi}{3}$ cm³ ④ ② 또는 ③ 모두 같은 답
원뿔대 공식: $V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$. ($R = 5, r = 2, h = 4$.)
④ ② 또는 ③ 모두 같은 답 ($52\pi$ cm³) $R^2 + Rr + r^2 = 25 + 10 + 4 = 39$. $V = \frac{\pi \times 4}{3} \times 39 = \frac{156\pi}{3} = 52\pi$ cm³. ★ 카발리에리적 검증: 같은 부피를 큰 원뿔 − 작은 원뿔로도 구할 수 있음 (닮음비 활용). 참고: 중1 정규 범위에서는 큰 원뿔 − 작은 원뿔로 푸는 게 표준. 원뿔대 직접 공식은 고1 이후.
2
M
아래쪽이 가로 $4$ cm, 세로 $3$ cm 직사각형이고 그 위에 빗변이 직사각형의 윗변과 만나는 직각삼각형(밑변 $4$, 높이 $2$)이 결합된 도형을, 직사각형의 세로($3$)를 포함하는 변(즉 도형의 한쪽 수직변, 길이 $3+2=5$)을 축으로 회전했어요. (간단히 풀이) 직사각형 회전 = 원기둥 + 삼각형 회전 = 원뿔. 부피는? ① $48\pi + \frac{32\pi}{3}$ cm³ ② $48\pi$ cm³ ③ $\frac{32\pi}{3}$ cm³ ④ $\frac{176\pi}{3}$ cm³
원기둥($r=4, h=3$) + 원뿔($r=4, h=2$).
④ $\frac{176\pi}{3}$ cm³ 원기둥: $\pi \times 4^2 \times 3 = 48\pi$ cm³ = $\frac{144\pi}{3}$. 원뿔: $\frac{1}{3}\pi \times 4^2 \times 2 = \frac{32\pi}{3}$ cm³. 합 = $\frac{144\pi}{3} + \frac{32\pi}{3} = \frac{176\pi}{3}$ cm³. ① $48\pi + \frac{32}{3}\pi$도 같은 값($= \frac{144+32}{3}\pi$). 단 한 표현으로 합친 ④가 더 명확.
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M
회전축에서 떨어진 정사각형(한 변 $2$ cm, 축과의 거리 $3$ cm)을 한 바퀴 돌렸어요. 만들어지는 입체의 모양은? ① 원기둥 ② 원뿔 ③ 도넛(토러스) 모양 ④ 구
축에 닿지 않는 도형이 회전하면 가운데 구멍이 생김.
③ 도넛(토러스) 모양 축과 떨어진 정사각형 회전 → 가운데가 비어 있는 도넛 모양 (단면이 사각형인 토러스). ★ 부피 계산은 중1 범위 밖 (적분 필요). 모양 인식만 중1에서 다룸. 참고: 단면이 원인 일반 도넛 = 토러스. 단면이 사각형인 토러스도 같은 류 — 회전축에 도형이 안 닿으면 구멍이 생긴다.
1
H
직각삼각형(직각변 $3$, $4$, 빗변 $5$)을 빗변(길이 $5$)을 축으로 한 바퀴 돌렸어요. 만들어진 입체는 두 원뿔이 밑면을 공유하며 합쳐진 모양. 부피의 합은? (직각꼭짓점에서 빗변에 내린 수선 길이 = $\frac{12}{5}$, 그 발은 빗변을 $\frac{9}{5}, \frac{16}{5}$로 분할.) ① $\frac{48\pi}{5}$ cm³ ② $\frac{144\pi}{25}$ cm³ ③ $\frac{48\pi}{25}$ cm³ ④ $20\pi$ cm³
두 원뿔 모두 반지름 = 수선 길이 $\frac{12}{5}$. 두 높이 합 = $\frac{9}{5}+\frac{16}{5} = 5$. 부피 합 = $\frac{1}{3}\pi r^2 (h_1+h_2)$.
① $\frac{48\pi}{5}$ cm³ 회전 결과: 반지름 $r = \frac{12}{5}$인 두 원뿔, 높이 $h_1 = \frac{9}{5}, h_2 = \frac{16}{5}$, 합 $h_1+h_2 = 5$. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3}\pi \times \left(\frac{12}{5}\right)^2 \times 5$. $= \frac{1}{3}\pi \times \frac{144}{25} \times 5 = \frac{1}{3}\times \frac{720\pi}{25} = \frac{240\pi}{25} = \frac{48\pi}{5}$ cm³. ★ 이 문제는 중1 범위 살짝 넘지만, 카발리에리식 단면 직관으로 접근 가능: 두 원뿔이 공유하는 단면 = 반지름 $\frac{12}{5}$인 원.
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H
L자 도형(큰 직사각형 $5\times 3$ + 작은 직사각형 $2\times 2$가 한쪽 모서리에 붙은 형태로, 회전축에서 떨어진 부분이 있음)을 단순하게 큰 원기둥 ($r=5, h=3$)에서 작은 원기둥 ($r=2, h=2$)를 빼는 형태로 가정하고 계산할 때, 부피는? ① $75\pi - 8\pi = 67\pi$ cm³ ② $75\pi + 8\pi = 83\pi$ cm³ ③ $25\pi \cdot 3 - 4\pi \cdot 2 = 67\pi$ cm³ ④ ① 또는 ③ 모두 같은 답
L자 회전체 = 큰 원기둥 − 작은 원기둥. 두 부피 모두 $\pi r^2 h$.
④ ① 또는 ③ 모두 같은 답 ($67\pi$ cm³) 큰 원기둥: $\pi \times 5^2 \times 3 = 75\pi$ cm³. 작은 원기둥: $\pi \times 2^2 \times 2 = 8\pi$ cm³. 회전체 부피 = $75\pi - 8\pi = 67\pi$ cm³. ★ ①과 ③은 같은 계산 — 곱셈 순서만 다름. 보기로 같은 답을 다르게 쓴 경우 학생이 식 동등성을 인식하는지 확인하는 의도.
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H
직각삼각형(직각변 $3$, $4$, 빗변 $5$)을 길이 $4$ 직각변을 축으로 회전했을 때 만들어진 원뿔의 옆넓이는? ① $9\pi$ cm² ② $12\pi$ cm² ③ $15\pi$ cm² ④ $20\pi$ cm²