깊이 탐구 — 원기둥·원뿔·구 통합 (유형 3+4+5)

$\pi$가 들어오는 입체들 — ★ $h$ vs $l$, 반구 평면원
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★핵심 전략 — 원기둥

$V = \pi r^2 h$
옆넓이 $= 2\pi r \times h$ (둘레 × 높이)
$S_{겉} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ (두 밑면 + 옆면)
전개도 핵심: 옆면을 펴면 직사각형. 가로 = 밑면 둘레 $2\pi r$, 세로 = 기둥 높이 $h$. 따라서 옆넓이 $=$ 가로 × 세로 = $2\pi rh$. 곡면이라고 무서워하지 말고 평면으로 본다.
★ 부피 검산법: 직사각형 단면 한 장 × 깊이로도 생각 가능. 원기둥에서 임의의 수평 단면 = 항상 같은 원 $\pi r^2$ → 카발리에리적 직관.

📝대표 문제

M겉넓이 분해
$r = 4, h = 6$ 원기둥의 겉넓이.
두 밑면 $2\pi r^2 = 32\pi$. 옆면 $2\pi rh = 48\pi$. 합 $= 80\pi$ cm². 절대 옆면만 답하지 말 것.
H관 모양 (구멍 뚫린 원기둥)
바깥 $r_1 = 6$, 안쪽 $r_2 = 4$, 높이 $10$인 원관의 부피.
$V = \pi(r_1^2 - r_2^2)h = \pi(36-16)\times 10 = 200\pi$ cm³. 두 부피 차로 계산.
H직사각형 회전 → 원기둥
가로 $a$, 세로 $b$ 직사각형을 가로($a$)를 축으로 회전하면 $V$? 세로($b$)를 축으로 회전하면 $V$?
가로축 → 반지름 $b$, 높이 $a$ → $V = \pi b^2 a$. 세로축 → 반지름 $a$, 높이 $b$ → $V = \pi a^2 b$. 같은 도형이라도 회전축에 따라 다른 부피.

⚠️실수

• 옆넓이를 $r \times h$ 또는 $\pi r h$로 잘못 (정답 $2\pi rh$, 둘레 빠짐).
• 겉넓이에 옆면만 답 (두 밑면 빠짐).
• 회전축 잘못 잡아 반지름과 높이 뒤바뀜.

★핵심 전략 — 원뿔 ($h$ vs $l$ 함정)

부피 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ — 높이 $h$ 사용!
옆넓이 $= \pi r l$ — 모선 $l$ 사용!
$S_{겉} = \pi r^2 + \pi r l$ (밑면 1개 + 옆면)
★★★ 가장 흔한 시험 함정: 부피에 $l$을 쓰거나 옆넓이에 $h$를 씀.
외우는 법: "부피는 안쪽 높이($h$), 옆면은 빗변(모선 $l$)".
$r, h, l$이 직각삼각형 이루므로 $r^2 + h^2 = l^2$ (피타고라스). 둘 중 두 개 알면 하나는 자동.
★ 옆면 전개도 = 부채꼴. 부채꼴 반지름 = 모선 $l$, 호 = 밑면 둘레 $2\pi r$. 중심각 $\theta = \frac{r}{l}\times 360°$. 부채꼴 넓이 $= \frac{1}{2}\times $호 $\times$ 반지름 $= \frac{1}{2}\times 2\pi r \times l = \pi r l$ ✓ — 옆넓이 공식과 일치.

📝대표 문제

M부피와 옆넓이 동시
$r=3, h=4, l=5$ 원뿔의 부피와 옆넓이.
부피 $= \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$. 옆넓이 $= \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$. ⚠️ 부피에 $5$ 쓰면 $15\pi$ (오답 — 옆넓이와 자리바뀜).
M모선 ↔ 부채꼴 중심각
$r=4, l=10$ 원뿔. 옆면 전개도 부채꼴 중심각은?
$\theta = \frac{r}{l}\times 360° = \frac{4}{10}\times 360° = 144°$. 호 길이 = $2\pi r = 8\pi$도 같이 확인.
H직각삼각형 회전 → 원뿔 동시 계산
직각변 $3, 4$, 빗변 $5$인 직각삼각형을 길이 $4$ 직각변 축 회전. 부피, 옆넓이?
축이 $4$ → $h=4, r=3, l=5$(빗변).
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$. 옆넓이 $= \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$. 빗변이 자동으로 모선.

⚠️실수

• ★ 부피에 $l$ 쓰기 (제일 흔함).
• ★ $\frac{1}{3}$ 빼먹기.
• 옆넓이 공식 $\pi r l$의 $\pi$ 빠뜨림.
• 부채꼴 호 길이와 밑면 둘레가 같음을 잊음.

★핵심 전략 — 구·반구

구 부피 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
구 겉넓이 $S = 4\pi r^2$
반구 부피 $= \frac{2}{3}\pi r^3$ (구의 절반)
반구 겉넓이 $= 3\pi r^2$ (곡면 $2\pi r^2$ + 평면 원 $\pi r^2$)
★★★ 반구 함정: 반구 겉넓이를 $2\pi r^2$만 답하면 오답. 잘려서 생긴 평면 원도 표면이므로 $+\pi r^2$ 해야 함. 정답 $3\pi r^2$.
★ 외우는 법
• 부피와 겉넓이 분수: "부피는 $\frac{4}{3}$, 겉넓이는 $4$ (분수 없음)".
• 차수: "부피는 $r^3$, 겉넓이는 $r^2$".
• 헷갈리면: 부피는 cm³이니 $r^3$, 겉넓이는 cm²이니 $r^2$ — 단위가 알려줌.

📝대표 문제

L구의 부피·겉넓이
$r = 6$ 구의 부피, 겉넓이.
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$ cm³. $S = 4\pi \cdot 36 = 144\pi$ cm².
M반구 겉넓이 (★ 함정)
$r = 5$ 반구의 겉넓이.
곡면 = $2\pi r^2 = 50\pi$. 평면 원 = $\pi r^2 = 25\pi$. 합 = $75\pi$ cm² = $3\pi r^2$. ⚠️ 평면 원 안 더하면 $50\pi$ — 오답.
H원기둥에 꼭 맞는 구
반지름 $r$인 원기둥(높이 $2r$)에 꼭 맞는 구. 부피 비?
$V_{구} = \frac{4}{3}\pi r^3$, $V_{기둥} = 2\pi r^3$. 비 $= 2 : 3$. 아르키메데스 묘비의 결과. 겉넓이도 $4\pi r^2 : 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 4\pi r^2 : 6\pi r^2 = 2 : 3$.

⚠️실수

• ★★★ 반구 겉넓이 = $2\pi r^2$만 (평면 원 빠뜨림).
• 겉넓이 $4\pi r^2$ ↔ 부피 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 헷갈림 (단위 확인 — cm² vs cm³).
• $r^3$ 자리에 $r^2$ 또는 그 반대.
• $\frac{4}{3}$를 $\frac{3}{4}$로 뒤집기.

⚖️세 입체 — 공식 한눈에

같은 반지름 $r$, 원뿔 높이 = 구 지름 = 원기둥 높이 $= 2r$일 때:
  • $V_{원뿔} = \frac{2}{3}\pi r^3$
  • $V_{구} = \frac{4}{3}\pi r^3$
  • $V_{원기둥} = 2\pi r^3$
→ $1 : 2 : 3$ 비율 (★ 아르키메데스의 자랑)
입체부피겉넓이
원기둥$\pi r^2 h$$2\pi r^2 + 2\pi rh$
원뿔$\frac{1}{3}\pi r^2 h$$\pi r^2 + \pi r l$
구$\frac{4}{3}\pi r^3$$4\pi r^2$
반구$\frac{2}{3}\pi r^3$$3\pi r^2$ (★ 평면원 포함)

🧮1:2:3 비율 응용

M한 값 → 나머지 추론
위 조건에서 구 부피 $= 32\pi$ cm³. 원뿔과 원기둥 부피?
단위 = $32\pi \div 2 = 16\pi$. 원뿔 $= 16\pi$, 원기둥 $= 48\pi$. (검산: $r^3 = 24$, 원뿔 $\frac{2}{3}\pi \cdot 24 = 16\pi$ ✓.)
H빈 공간 부피
원기둥 안에 꼭 맞는 구가 들어있을 때, 빈 공간 : 구 : 원기둥 부피 비?
빈 공간 = 원기둥 - 구 = $3 - 2 = 1$ 단위. → $1 : 2 : 3$. 빈 공간 = 원뿔 부피와 같음! ★ 카발리에리 단면 비교로 증명 가능.

💎이것만은 기억

1. 원뿔: 부피는 $h$, 옆넓이는 $l$.
2. 원뿔·각뿔: $\frac{1}{3}$ 꼭!
3. 반구 겉넓이 $= 3\pi r^2$ (평면원 포함).
4. 구: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, $S = 4\pi r^2$.
5. 1:2:3 비율: 원뿔:구:원기둥 (높이 $=2r$일 때).
6. 단위 cm²(겉넓이) vs cm³(부피).

🔗연결

• Unit 10 아르키메데스: 1:2:3 묘비 발견 (구 + 원기둥)
• Unit 11 케플러: 술통 부피 (회전체 적분 선구)
• 카발리에리: 단면으로 부피 계산 → 고1 적분의 시조
• 중2 피타고라스: 원뿔 $r, h, l$ 관계 ($r^2 + h^2 = l^2$)