밑면이 평행한 두 변의 길이가 $4, 6$ cm이고 높이 $5$ cm인 사다리꼴이며, 기둥의 높이가 $10$ cm인 사각기둥의 부피는? ① $100$ cm³ ② $200$ cm³ ③ $250$ cm³ ④ $300$ cm³
사다리꼴 넓이 = $\frac{1}{2}(a+b)h$. 그 다음 기둥의 높이 곱하기.
③ $250$ cm³ 밑면 사다리꼴 넓이 = $\frac{1}{2}(4+6) \times 5 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$ cm². $V = $밑넓이 $\times$ 기둥의 높이 $= 25 \times 10 = 250$ cm³. ⚠️ 사다리꼴의 "높이"(밑면 내 수직거리 5)와 기둥의 "높이"(10)를 헷갈리지 마세요. 다른 의미의 높이!
1
H
한 변의 길이가 $4$ cm인 정삼각형 밑면을 가지고 높이가 $10$ cm인 정삼각기둥의 겉넓이는? (정삼각형 한 변 $a$의 넓이 = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$이지만, 본 문항에서는 정삼각형 한 변 $4$cm의 넓이를 $4\sqrt{3}$ cm²로 주어진 것으로 사용) ① $120 + 8\sqrt{3}$ cm² ② $120 + 4\sqrt{3}$ cm² ③ $80 + 8\sqrt{3}$ cm² ④ $80$ cm²
두 밑면 합 + 옆면 3개 합. 옆면 = 가로 $4$ × 세로 $10$ 직사각형 3개.
① $120 + 8\sqrt{3}$ cm² 밑면 정삼각형 1개 넓이 = $4\sqrt{3}$ cm². 두 밑면 = $8\sqrt{3}$ cm². 옆면 3개 = $3 \times (4 \times 10) = 120$ cm² (옆넓이 = 둘레 × 높이 = $12 \times 10 = 120$). $S = 120 + 8\sqrt{3}$ cm². ⚠️ 중1에서 $\sqrt{3}$은 보통 그대로 쓰거나 약 $1.732$로 처리. 정확한 정삼각형 넓이 공식은 중2에서.
2
H
한 모서리 $6$ cm인 정육면체에서 한 꼭짓점 부분을 잘라 한 모서리 $2$ cm인 작은 정육면체를 떼어냈어요. 남은 입체의 부피는? ① $208$ cm³ ② $216$ cm³ ③ $208$ cm² ④ $128$ cm³
남은 부피 = 큰 정육면체 부피 − 작은 정육면체 부피.
① $208$ cm³ 큰 정육면체 부피 = $6^3 = 216$ cm³. 작은 정육면체 부피 = $2^3 = 8$ cm³. 남은 부피 = $216 - 8 = 208$ cm³. ⚠️ ③은 같은 숫자지만 단위가 cm²로 잘못 표시 — 부피는 cm³.
3
H
두 정육면체 A와 B가 있어요. A의 모서리는 B의 $2$배예요. A의 부피는 B의 부피의 몇 배인가요? ① $2$배 ② $4$배 ③ $6$배 ④ $8$배
B의 모서리 $a$, A의 모서리 $2a$. 부피는 모서리의 세제곱.
④ $8$배 B 부피 = $a^3$. A 부피 = $(2a)^3 = 8a^3$. → $\dfrac{V_A}{V_B} = 8$배. ★ 일반화: 모서리 $k$배 → 부피 $k^3$배, 겉넓이 $k^2$배. 참고: 같은 비율로 겉넓이는 $\dfrac{(2a)^2 \times 6}{a^2 \times 6} = 4$배 (② 답이 겉넓이 변화). 부피와 겉넓이의 비율 변화가 다르다는 점이 시험에 자주 나와요.