반지름 $3$ cm인 반구 위에 같은 반지름의 원기둥(높이 $5$ cm)이 붙은 캡슐 모양 입체. 부피는?
① $18\pi$ cm³ ② $45\pi$ cm³ ③ $63\pi$ cm³ ④ $99\pi$ cm³
반구 부피 + 원기둥 부피.
③ $63\pi$ cm³
반구: $\frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$ cm³.
원기둥: $\pi \times 9 \times 5 = 45\pi$ cm³.
합 = $18\pi + 45\pi = 63\pi$ cm³.
한 모서리 $5$ cm인 정육면체에서 한 꼭짓점 부분의 한 모서리 $2$ cm인 작은 정육면체를 잘라냈어요. 남은 입체의 부피는?
① $117$ cm³ ② $123$ cm³ ③ $125$ cm³ ④ $133$ cm³
$5^3 - 2^3$.
① $117$ cm³
$5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117$ cm³.
반지름 $2$ cm, 높이 $5$ cm인 원기둥 두 개가 옆으로 나란히 합쳐진 ($r$만 공유, 다른 부분 합쳐짐 없는 단순 결합) 입체의 부피의 합은?
① $20\pi$ cm³ ② $40\pi$ cm³ ③ $80\pi$ cm³ ④ $100\pi$ cm³
원기둥 하나 부피 $\times 2$.
② $40\pi$ cm³
원기둥 1개: $\pi \times 4 \times 5 = 20\pi$ cm³.
두 개: $40\pi$ cm³. (단순 합산, 곡면 결합 없음.)
반지름 $3$ cm인 반구의 부피를 구하시오. (힌트: 같은 반지름·높이의 원기둥에서 원뿔을 빼면 반구와 같은 부피 — 카발리에리 원리 활용)
① $9\pi$ cm³ ② $18\pi$ cm³ ③ $27\pi$ cm³ ④ $36\pi$ cm³
원기둥 $\pi r^2 (2r)$ - 원뿔 $\frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3 \times 2 = \frac{2}{3}\pi r^3$ ($r=3$).
② $18\pi$ cm³
반지름 $r=3$인 반구의 부피 $= \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$ cm³.
★ 카발리에리 직관: 반지름 $r$인 반구와, "반지름 $r$·높이 $r$ 원기둥에서 반지름 $r$·높이 $r$ 원뿔을 빼낸 입체"가 단면 비교로 같은 부피.
검산: 원기둥($r=3, h=3$) $= 27\pi$. 원뿔($r=3, h=3$) $= 9\pi$. 차 $= 18\pi$ ✓ (반구 부피와 일치).
※ 문제 본문의 "원기둥 높이 $2r$, 원뿔 꼭짓점 = 한 밑면 중심"인 경우는 전체 구($36\pi$)의 부피와 같음. 반구는 그 절반인 $18\pi$.
반지름 $r$인 구가 같은 반지름의 원기둥(높이 $2r$) 안에 꼭 맞게 들어 있어요. 원기둥과 구 사이 빈 공간의 부피는? (단 $r=3$)
① $12\pi$ cm³ ② $18\pi$ cm³ ③ $24\pi$ cm³ ④ $36\pi$ cm³
원기둥 부피 − 구 부피.
② $18\pi$ cm³
원기둥: $\pi r^2 (2r) = 2\pi r^3 = 2\pi \times 27 = 54\pi$ cm³.
구: $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$ cm³.
빈 공간 = $54\pi - 36\pi = 18\pi$ cm³.
★ 비율: 빈 공간 : 구 : 원기둥 = $\frac{2}{3} : \frac{4}{3} : 2 = 1 : 2 : 3$ (원뿔 부피와 같음!).
반지름 $r$이 같고 원뿔 높이 = 구 지름 = 원기둥 높이 $= 2r$일 때, $V_{원기둥} = 24\pi$ cm³입니다. 같은 조건의 구의 부피는?
① $8\pi$ cm³ ② $12\pi$ cm³ ③ $16\pi$ cm³ ④ $24\pi$ cm³
원뿔:구:원기둥 = 1:2:3. 구는 원기둥의 $\frac{2}{3}$.
③ $16\pi$ cm³
1:2:3 비율 → 구 부피 = 원기둥 부피 $\times \frac{2}{3} = 24\pi \times \frac{2}{3} = 16\pi$ cm³.
참고: 같은 조건 원뿔은 $24\pi \times \frac{1}{3} = 8\pi$ cm³.
반지름 $4$ cm인 반구 위에 같은 반지름의 원뿔(높이 $3$ cm, 모선 $5$ cm)이 결합된 입체의 겉넓이는? (결합면 평면 원은 내부)
① $20\pi$ cm² ② $32\pi$ cm² ③ $48\pi$ cm² ④ $52\pi$ cm²
반구 곡면 $2\pi r^2$ + 원뿔 옆넓이 $\pi r l$. 결합면(평면 원)은 빠진다 (양쪽 모두 내부 됨).
④ $52\pi$ cm²
반구 곡면 = $2\pi r^2 = 2\pi \times 16 = 32\pi$ cm² (평면 원 $16\pi$는 결합되어 사라짐).
원뿔 옆넓이 = $\pi r l = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi$ cm² (밑면 원 $16\pi$도 결합되어 사라짐).
겉넓이 = $32\pi + 20\pi = 52\pi$ cm².
⚠️ ★★★ 만일 결합면을 빼지 않고 모두 더하면 $32\pi + 16\pi + 16\pi + 20\pi = 84\pi$ (오답). 결합면은 안에 갇혀 표면이 아님.
한 모서리 $6$ cm인 정육면체의 한 면 중앙에서 반대편 면까지 반지름 $2$ cm인 원기둥 모양 구멍이 뚫려 있어요. 입체의 부피는?
① $216 - 24\pi$ cm³ ② $216 - 8\pi$ cm³ ③ $216 + 24\pi$ cm³ ④ $200\pi$ cm³
정육면체 부피 − 원기둥 구멍 부피. 구멍 길이 = 정육면체 한 모서리 $6$.
① $216 - 24\pi$ cm³
정육면체: $6^3 = 216$ cm³.
원기둥 구멍: $\pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi$ cm³.
입체 부피 = $216 - 24\pi$ cm³.
참고: $\pi \approx 3.14$로 약 $216 - 75.4 \approx 140.6$ cm³.
반지름이 같은 원뿔·구·원기둥 (높이 모두 $= 2r$)에서 구의 부피가 $32\pi$ cm³입니다. 같은 조건의 원뿔과 원기둥의 부피는?
① 원뿔 $16\pi$, 원기둥 $48\pi$ cm³ ② 원뿔 $\frac{32}{3}\pi$, 원기둥 $48\pi$ cm³ ③ 원뿔 $16\pi$, 원기둥 $64\pi$ cm³ ④ 원뿔 $\frac{32}{3}\pi$, 원기둥 $32\pi$ cm³
1:2:3 비율 → 원뿔 = 구 $\times \frac{1}{2}$, 원기둥 = 구 $\times \frac{3}{2}$.
① 원뿔 $16\pi$ cm³, 원기둥 $48\pi$ cm³
비율 $V_{원뿔} : V_{구} : V_{원기둥} = 1 : 2 : 3$.
$V_{구} = 32\pi$이므로 비율 단위 = $32\pi \div 2 = 16\pi$.
→ $V_{원뿔} = 16\pi$ cm³, $V_{원기둥} = 3 \times 16\pi = 48\pi$ cm³.
검산: $V_{구} = \frac{4}{3}\pi r^3 = 32\pi$ → $r^3 = 24$. $V_{원뿔} = \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \times 24 = 16\pi$ ✓. $V_{원기둥} = 2\pi r^3 = 48\pi$ ✓.
★ 1:2:3 비율 — 아르키메데스 묘비 결과, 카발리에리가 단면 비교로 재증명.