유형 2 — 각뿔의 겉넓이·부피

밑면이 한 변의 길이가 $6$ cm인 정사각형이고, 높이가 $5$ cm인 사각뿔의 부피는?
① $30$ cm³ ② $60$ cm³ ③ $90$ cm³ ④ $180$ cm³

각뿔 부피 = $\frac{1}{3}\times$ 밑넓이 $\times$ 높이.

② $60$ cm³
밑넓이 $S = 6 \times 6 = 36$ cm².
$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \times 36 \times 5 = 60$ cm³.
⚠️ ④ $180 = Sh$ → ★ $\frac{1}{3}$ 빼먹은 답! 각뿔에서 $\frac{1}{3}$ 꼭 챙기기.

정삼각뿔의 한 옆면(삼각형)의 밑변이 $4$ cm, 높이가 $6$ cm일 때, 이 옆면 한 개의 넓이는?
① $6$ cm² ② $12$ cm² ③ $24$ cm² ④ $48$ cm²

삼각형 넓이 = $\frac{1}{2}\times$ 밑변 $\times$ 높이.

② $12$ cm²
$\frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ cm².
참고: 정삼각뿔이라 옆면 3개가 합동이지만, 이 문제는 1개만 물음. 4개 또는 3개 모두 더하면 안 됩니다.

밑면이 두 변이 $3$ cm, $4$ cm인 직각삼각형이고, 높이가 $9$ cm인 각뿔(직각삼각뿔)의 부피는?
① $18$ cm³ ② $36$ cm³ ③ $54$ cm³ ④ $108$ cm³

밑넓이 = $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. 그 다음 $V = \frac{1}{3}Sh$.

① $18$ cm³
밑넓이 $S = \frac{1}{2}\times 3 \times 4 = 6$ cm².
$V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18$ cm³.
⚠️ ③ $54 = Sh$ ($\frac{1}{3}$ 빠짐). ④ $108$은 밑넓이의 $\frac{1}{2}$도 빠지고 $\frac{1}{3}$도 빠진 답.

밑면이 한 변 $4$ cm인 정사각형이고, 옆면 4개가 모두 합동인 정사각뿔. 옆면 한 개가 밑변 $4$ cm, 높이 $5$ cm인 삼각형일 때 겉넓이는?
① $40$ cm² ② $46$ cm² ③ $56$ cm² ④ $76$ cm²

밑면 정사각형 + 합동 옆면 4개.

③ $56$ cm²
밑넓이 = $4 \times 4 = 16$ cm².
옆면 1개 = $\frac{1}{2}\times 4 \times 5 = 10$ cm². 옆면 4개 = $40$ cm².
$S = 16 + 40 = 56$ cm².
⚠️ ① $40$은 옆면만 (밑면 빠짐). 겉넓이는 밑면도 포함!

밑면과 높이가 같은 각기둥의 부피가 $300$ cm³일 때, 같은 밑면과 높이를 가진 각뿔의 부피는?
① $100$ cm³ ② $150$ cm³ ③ $300$ cm³ ④ $900$ cm³

각뿔 부피 = 같은 밑면·높이 각기둥 부피의 $\frac{1}{3}$.

① $100$ cm³
$V_{각뿔} = \frac{1}{3} V_{각기둥} = \frac{1}{3} \times 300 = 100$ cm³.
★ 카발리에리 원리의 핵심 결과: 같은 밑면과 높이의 기둥을 세 개의 합동 뿔로 자를 수 있음.

정사각뿔의 모든 모서리가 $6$ cm로 같다(즉, 밑면 정사각형 한 변 $6$, 옆 모서리도 $6$). 옆면 4개 각각은 어떤 삼각형인가?
① 직각삼각형 ② 이등변삼각형 (정삼각형 아님) ③ 정삼각형 ④ 부등변삼각형

옆면 삼각형의 세 변: 밑변 = 정사각형 한 변, 두 옆변 = 옆 모서리 2개.

③ 정삼각형
옆면 한 개의 세 변은 (밑변 $6$, 옆 모서리 $6$, 옆 모서리 $6$). 세 변이 모두 $6$이므로 정삼각형.
⚠️ 주의: 옆면이 정삼각형이라고 해서 이 입체가 정사면체는 아닙니다. 밑면이 정사각형이므로 정사면체(밑면도 정삼각형)와 다릅니다.

밑면이 한 변 $6$ cm인 정사각형이고 높이 $9$ cm인 정사각뿔에서, 꼭짓점에서 높이 $3$ cm까지 잘라낸 작은 정사각뿔을 떼어냈어요. 작은 정사각뿔의 밑면은 한 변 $2$ cm입니다. 남은 각뿔대의 부피는?
① $96$ cm³ ② $104$ cm³ ③ $108$ cm³ ④ $112$ cm³

큰 사각뿔 부피 − 작은 사각뿔 부피.

② $104$ cm³
큰 사각뿔: $V_{큰} = \frac{1}{3}\times 6^2 \times 9 = \frac{1}{3}\times 36 \times 9 = 108$ cm³.
작은 사각뿔: $V_{작은} = \frac{1}{3}\times 2^2 \times 3 = \frac{1}{3}\times 4 \times 3 = 4$ cm³.
각뿔대 부피 = $108 - 4 = 104$ cm³.

두 사각뿔 A, B가 있어요. A는 밑넓이 $12$ cm², 높이 $9$ cm. B는 밑넓이 $18$ cm², 높이 $6$ cm. 두 부피의 비 $V_A : V_B$는?
① $1 : 1$ ② $2 : 3$ ③ $3 : 2$ ④ $4 : 3$

$V = \frac{1}{3}Sh$ 각각 계산 후 비교.

① $1:1$
$V_A = \frac{1}{3}\times 12 \times 9 = 36$ cm³.
$V_B = \frac{1}{3}\times 18 \times 6 = 36$ cm³.
$V_A : V_B = 36 : 36 = 1 : 1$.
★ 카발리에리 직관: 밑넓이와 높이의 곱($Sh$)이 같으면 부피도 같음. $12 \times 9 = 108 = 18 \times 6$.

정사각뿔의 옆면 4개가 모두 한 변 $6$ cm인 정삼각형일 때, 옆면 4개의 옆넓이의 합은? (정삼각형 한 변 $6$의 넓이는 $9\sqrt{3}$ cm²로 사용)
① $18\sqrt{3}$ cm² ② $24\sqrt{3}$ cm² ③ $36\sqrt{3}$ cm² ④ $48\sqrt{3}$ cm²

옆면 1개 넓이 × 4. 정삼각형 한 변 $6$의 넓이 $= 9\sqrt{3}$.

③ $36\sqrt{3}$ cm²
옆면(정삼각형) 1개 넓이 = $9\sqrt{3}$ cm².
옆넓이 합 = $4 \times 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ cm².
참고: 이 입체는 모든 옆 모서리가 $6$ cm. 밑면(정사각형 한 변 $6$)은 별도로 $36$ cm².
★ 옆면이 정삼각형이라도 정사면체가 아니라 정사각뿔인 점 다시 확인.