사인법칙·코사인법칙

📋 가지 않고도 거리를 재는 법

💥 왜 배우나

에베레스트의 높이는 1850년대에 산에 오르지도 않고 계산됐어요. 인도 평원에서 100km 넘게 떨어진 여러 지점에서 산꼭대기를 올려다본 각을 재고, 지점 사이의 거리를 알고 있으니 삼각형을 풀어서 8,840m라는 값을 얻었죠. 지금의 측정값 8,849m와 9m 차이예요. "각 두 개와 변 하나를 알면 삼각형이 정해진다"는 사실이 GPS 이전 200년 동안 지구를 잰 방법이고, 그 계산 규칙이 사인법칙과 코사인법칙이에요.

🚪 삼각함수가 "원 위의 점"이라는 감이 없다면 먼저 → 관문 특강: 삼각함수는 원이다 · 앞 단원 정의 · 그래프

📜

유클리드에서 레기오몬타누스까지

코사인법칙은 기원전 300년 유클리드의 『원론』에 "둔각삼각형의 변" 명제로 이미 있었어요(삼각함수 없이 넓이로 표현). 사인법칙을 포함해 삼각형을 푸는 방법을 한 권으로 체계화한 것은 15세기 독일의 레기오몬타누스예요(1464년 집필, 1533년 인쇄). 그 책은 천문학자들의 교과서가 되었고, 그가 만든 천문 역표는 콜럼버스 같은 항해자들이 실제로 썼어요.

📐 사인법칙 — 변과 마주 보는 각의 비는 일정하다

삼각형의 꼭짓점을 끌어서 모양을 바꿔 보세요. 각 변을 마주 보는 각의 $\sin$으로 나눈 값 세 개가 항상 같고, 그 값은 외접원의 지름 $2R$이에요.

✅ 사인법칙

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\quad(R\text{: 외접원의 반지름})$$

🔑 왜 그런가

꼭짓점 $B$에서 지름을 그어 끝점을 $A'$이라 하면, 같은 호 위의 원주각이라 $\angle A'=\angle A$이고 반원의 각이라 $\angle A'CB=90°$예요. 그 직각삼각형에서 $\sin A'=\frac a{2R}$, 즉 $a=2R\sin A$가 돼요($A$가 둔각이면 $\angle A'=180°-A$인데 $\sin$ 값은 같아요). 세 변 모두 같은 원의 지름을 쓰니까 비가 같아요. 그래서 사인법칙은 "큰 각 앞에 큰 변"을 숫자로 적은 것이에요.

언제 쓰나 — 각을 두 개 알 때

$\triangle ABC$에서 $A=45°$, $B=60°$, $a=4$ 일 때 $b$는?

1$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ → $b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$.

→ 변 하나와 마주 보는 각을 아는 쌍이 있으면 사인법칙.

2$b=\dfrac{4\cdot\frac{\sqrt3}2}{\frac{\sqrt2}2}=\dfrac{4\sqrt3}{\sqrt2}=2\sqrt6$.

$b=2\sqrt6$

$a=2$, $A=30°$ 인 삼각형의 외접원의 반지름 $R$은?

1$\dfrac{a}{\sin A}=2R$ → $2R=\dfrac{2}{\sin30°}=\dfrac{2}{1/2}=4$.

$R=2$

⚖️ sin 의 비 = 변의 비

사인법칙 $\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=2R$ 를 뒤집어 보면 $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$ 다. 세 변이 모두 같은 $2R$ 을 곱한 꼴이므로
$$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$$
즉 sin 의 비가 주어지면 그것이 곧 변의 비이고, 그 반대도 같다. 그래서 sin 의 비만 알아도 $a=4k,\ b=5k,\ c=6k$ 처럼 놓고 코사인법칙으로 각을 구할 수 있다($k$ 는 계산 중에 약분되어 사라진다).
예 — $(a+b):(b+c):(c+a)=7:8:9$ 이면 세 식을 모두 더해 $2(a+b+c)=24k$, 즉 $a+b+c=12k$. 여기서 각 변을 빼내면 $a=4k,\ b=3k,\ c=5k$ 이므로 $\sin A:\sin B:\sin C=4:3:5$.
세 식을 더한 값이 전체의 두 배라는 것을 놓치면 비가 통째로 어긋난다.

📏 코사인법칙 — 피타고라스의 확장

두 변 $a, b$와 그 사이의 각 $C$를 고정하면 나머지 변 $c$가 정해져요. 각 $C$를 움직여 보세요. $C=90°$이면 $c^2=a^2+b^2$(피타고라스)이고, 각이 작아지면 $c$가 짧아지고 커지면 길어져요. 그 보정항이 $-2ab\cos C$예요.

✅ 코사인법칙

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\qquad\Longleftrightarrow\qquad \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

🔑 읽는 법

$\cos C$가 양수(예각)면 $c^2$이 $a^2+b^2$보다 작고, 음수(둔각)면 커요. 즉 "마주 보는 변이 길면 그 각은 둔각". 각을 구할 때는 오른쪽 식으로 세 변을 넣으면 끝이에요.

언제 쓰나 — 두 변과 끼인각, 또는 세 변

$a=3$, $b=5$, $C=60°$ 일 때 $c$는?

1$c^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos60°=9+25-15=19$.

$c=\sqrt{19}$

세 변이 $3, 5, 7$ 인 삼각형에서 가장 큰 각은?

1가장 큰 각은 가장 긴 변 $7$과 마주 본다. $\cos C=\dfrac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=\dfrac{9+25-49}{30}=-\dfrac{15}{30}=-\dfrac12$.

2$\cos C=-\dfrac12$ → $C=120°$ (둔각, 원에서 그림자가 $-\frac12$인 점).

$120°$

⚠️ 사인법칙 vs 코사인법칙

각과 마주 보는 변의 쌍이 하나라도 있으면 사인법칙, 두 변과 끼인각 또는 세 변이면 코사인법칙. 헷갈리면 "아는 것이 무엇인가"를 먼저 적어요.

🔧 변과 각이 섞인 등식 — 변으로 통일한다

$a\cos B=b\cos A$ 처럼 변과 각이 한 식에 있으면 한쪽으로 통일한다. 코사인법칙을 각을 구하는 꼴로 써서 $\cos$ 을 세 변의 식으로 바꾸면 변만 남는다.
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\qquad \cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
대입하면 $\dfrac{a(a^2+c^2-b^2)}{2ac}=\dfrac{b(b^2+c^2-a^2)}{2bc}$ → 양변에서 $a$, $b$ 가 약분되어 $\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2c}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}$ → $a^2-b^2=b^2-a^2$ → $a^2=b^2$, 즉 $a=b$ 인 이등변삼각형이다.
정리한 결과가 두 변의 관계인지 세 변의 관계인지를 그대로 읽는다. $a=b$ 가 나왔다고 정삼각형이라고 넓히면 안 된다.
$a^2=b^2+c^2$ 꼴로 정리되면 직각삼각형이다.

🔺 삼각형의 넓이와 활용

높이를 몰라도 두 변과 끼인각만 있으면 넓이가 나와요. 높이 $h=b\sin C$이니까 $S=\frac12 a\cdot b\sin C$. 슬라이더로 확인하세요.

✅ 넓이 공식

$$S=\frac12ab\sin C=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B$$ 평행사변형은 $ab\sin\theta$ (삼각형 두 개), 대각선이 $p, q$이고 그 사이 각이 $\theta$인 사각형은 $\frac12pq\sin\theta$.

활용 — 강 건너 거리 재기 (측량의 원리)

강가의 두 지점 $A, B$ 사이는 $100$m. 건너편 나무 $C$를 보니 $\angle A=75°$, $\angle B=45°$. $B$에서 나무까지의 거리 $a$는? ($\sin75°\approx0.966$)

1$C=180°-75°-45°=60°$. 아는 것: 변 $c=100$과 마주 보는 각 $C$ → 사인법칙.

2$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$ → $a=\dfrac{100\sin75°}{\sin60°}\approx\dfrac{100\times0.966}{0.866}\approx111.5$.

약 $112$m — 강을 건너지 않고 잰다

두 변이 $4, 6$이고 끼인각이 $30°$인 평행사변형의 넓이는?

1$S=ab\sin\theta=4\cdot6\cdot\sin30°=24\cdot\dfrac12=12$.

$12$

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것

각 두 개와 변 하나면 삼각형이 정해진다. 이것이 측량·항해·천문의 원리이고, 별까지의 거리(연주 시차)도 이렇게 쟀다.
코사인법칙은 피타고라스의 일반형. 직각이 아니어도 "두 변과 끼인각"으로 나머지 변이 나온다.
넓이 $=\frac12ab\sin C$. 높이를 재지 않아도 각만 알면 넓이가 나온다 — 토지 측량의 기본.

💡 인사이트 — 삼각함수 단원의 마무리

"원 위의 점"(정의) → "시간축에 펼친 파동"(그래프) → "삼각형에 붙인 계산 규칙"(법칙)까지가 대수의 삼각함수예요. 코사인법칙의 $ab\cos C$는 대학에서 배우는 벡터의 내적과 같은 식이고, 컴퓨터가 "두 방향이 얼마나 비슷한가"를 재는 방법(추천 알고리즘의 코사인 유사도)도 이 식이에요. 다음 단원부터는 전혀 다른 세계, 수열로 갑니다.

🏠 삼각형을 푸는 곳

🛰️

GPS

위성까지 거리로 삼각측량

🏔️

산 높이

올려다본 각 두 개로

⚾

야구 중계

타구 거리·각도 계산

🧭

항해

두 등대의 방위각으로 위치

🏠

지붕 설계

경사각으로 서까래 길이

🌌

별까지 거리

연주 시차 삼각형

🏭 산업과 직업

📡

측량·공간정보
토지 경계, 도로·터널 설계, 드론 지도 제작. 각을 재서 거리를 계산하는 일이 직업이다.
🎓 공간정보공학 · 토목공학

🤖

로봇·자율주행
센서(라이다)가 잰 각과 거리로 주변 지도를 만든다. 코사인법칙이 매 순간 돌아간다.
🎓 로봇공학 · 컴퓨터공학

🏗️

건축·구조
트러스 구조의 힘 분배, 경사 지붕과 계단, 크레인 각도 계산.
🎓 건축공학 · 기계공학

📊

데이터·AI
코사인 유사도로 문서·영상·사용자를 비교한다. 추천 시스템의 뿌리가 $\cos C$.
🎓 데이터사이언스 · 컴퓨터공학