각을 길이로 재고, 원 위의 점으로 삼각함수를 다시 정의한다
각은 시초선(기준 반직선)에서 동경(회전한 반직선)까지 돈 양이에요. 시계 반대 방향이 양, 시계 방향이 음. 한 바퀴 넘게 돌아도 되고, 그래서 같은 동경을 나타내는 각은 $\theta+360°\times n$으로 무한히 많아요. 이것이 일반각이에요.
| 도 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 라디안 | $0$ | $\frac\pi6$ | $\frac\pi4$ | $\frac\pi3$ | $\frac\pi2$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}2$ | $2\pi$ |
반지름 1인 원(단위원) 위의 점을 끌어서 옮겨 보세요. 동경이 나타내는 각 $\theta$에 대해 점의 좌표가 $(\cos\theta,\ \sin\theta)$이고, 원점과 점을 잇는 직선의 기울기가 $\tan\theta$예요. 직각삼각형이 없어도, 각이 90°를 넘어도 정의돼요.
| 사분면 | $x$ (그림자) | $y$ (높이) | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | + | + | + | + | + |
| 2 | − | + | + | − | − |
| 3 | − | − | − | − | + |
| 4 | + | − | − | + | − |
첫 번째는 단위원 위의 점 $(x,y)$가 $x^2+y^2=1$을 만족한다는 것, 즉 피타고라스예요. 두 번째는 기울기의 정의 그대로.
$\sin(\pi-\theta)$, $\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)$ 같은 것은 외우지 않아요. 단위원 위의 점 $P(\theta)$를 대칭이동시킨 점의 좌표를 읽으면 돼요. 버튼을 눌러 보세요.
| 각 | 대칭 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|---|
| $\pi-\theta$ | $y$축 | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi+\theta$ | 원점 | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $-\theta$ (또는 $2\pi-\theta$) | $x$축 | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\frac\pi2-\theta$ | $y=x$ | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\frac1{\tan\theta}$ |
| $\frac\pi2+\theta$ | $y=x$ 뒤 $y$축 | $\cos\theta$ | $-\sin\theta$ | $-\frac1{\tan\theta}$ |
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 일반각 | $\theta+360°n$ (같은 동경) · 반시계 양, 시계 음 |
| 호도법 | $180°=\pi$ rad · $1$ rad $\approx57.3°$ · 부채꼴 $l=r\theta$, $S=\frac12r^2\theta=\frac12rl$ |
| 정의 | 단위원 위의 점 $(\cos\theta,\sin\theta)$ · $\tan\theta$ = 기울기 ($x\ne0$) |
| 부호 | $\sin$ 위쪽 + · $\cos$ 오른쪽 + · $\tan$ 1·3사분면 + |
| 관계 | $\sin^2+\cos^2=1$ · $\tan=\sin/\cos$ |
| 각의 변환 | $\pi$: 이름 그대로 · $\frac\pi2$: 이름 교환 · 부호는 사분면에서 |