삼각함수의 그래프

📋 모든 반복은 sin으로 쓸 수 있다

💥 왜 배우나

음악 앱의 이퀄라이저 막대가 춤추는 것은 소리를 $\sin$ 곡선 여러 개의 합으로 쪼갠 결과예요. 목소리, 기타 소리, 심장 박동, 조수의 높이, 1년의 기온 변화까지, 반복하는 것은 전부 $\sin$의 합으로 쓸 수 있다는 것이 200년 전 푸리에가 발견한 사실이에요. 그러려면 먼저 $\sin$ 곡선 하나를 완전히 알아야 해요. 진폭·주기·이동, 이 세 숫자면 파동 하나가 정해져요.

🚪 원 위를 도는 점에서 그래프가 나오는 장면을 먼저 보려면 → 관문 특강: 삼각함수는 원이다 · 앞 단원 삼각함수의 정의

🎼

푸리에 (1768~1830) — 열에서 파동으로

프랑스의 푸리에는 쇠막대의 열이 퍼지는 문제를 풀다가 "어떤 모양의 함수라도 $\sin$과 $\cos$의 합으로 나타낼 수 있다"고 주장했어요. 당시 수학자들은 믿지 않았지만, 이 푸리에 급수는 오늘날 음성 인식, 영상 압축(JPEG·MP3), MRI, 통신의 기초가 되었어요. 스마트폰이 소리를 이해하는 방법이 바로 이거예요.

🌊 $y=\sin x$, $y=\cos x$ — 같은 파동, 다른 출발점

단위원 위의 점이 돌 때 높이가 $\sin x$, 그림자가 $\cos x$였어요. 그것을 각 $x$(라디안)에 대해 그리면 아래 곡선이에요. 슬라이더로 $\cos$ 곡선을 옆으로 밀어 보세요. $\dfrac\pi2$만큼 밀면 $\sin$과 겹쳐요.

	$y=\sin x$	$y=\cos x$
정의역 / 치역	실수 전체 / $-1\le y\le1$
주기	$2\pi$ (한 바퀴마다 반복)
최대 · 최소	$1$ ($x=\frac\pi2+2n\pi$) · $-1$ ($x=\frac{3\pi}2+2n\pi$)	$1$ ($x=2n\pi$) · $-1$ ($x=\pi+2n\pi$)
대칭	원점 대칭: $\sin(-x)=-\sin x$	$y$축 대칭: $\cos(-x)=\cos x$
관계	$\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right)$ — $\sin$을 왼쪽으로 $\frac\pi2$ 밀면 $\cos$

🔑 읽는 법

$\sin$은 원점에서 출발해 올라가고, $\cos$은 꼭대기(1)에서 출발해 내려와요. 그림자($\cos$)는 높이($\sin$)보다 $\dfrac\pi2$ 앞서 있어요. 원에서 점이 0°일 때 그림자는 이미 최대(1)잖아요.

📐 $y=\tan x$ — 기울기의 그래프

$\tan x$는 원점과 점을 잇는 직선의 기울기였어요. 점이 맨 위($x=\frac\pi2$)에 가까워지면 기울기가 한없이 커지고, 지나는 순간 부호가 바뀌어요. 그래서 그래프에 점근선이 생겨요.

항목	$y=\tan x$
정의역	$x\ne\dfrac\pi2+n\pi$ (그림자가 0인 곳 제외)
치역	실수 전체 (최대·최소 없음)
주기	$\pi$ — $\sin$·$\cos$의 절반. 점이 반 바퀴 돌면 기울기는 같아진다(원점 대칭인 두 점은 같은 직선 위)
대칭	원점 대칭: $\tan(-x)=-\tan x$
점근선	$x=\dfrac\pi2+n\pi$

⚠️ 흔한 실수

$\tan$의 주기를 $2\pi$라고 답하는 실수. 기울기는 반 바퀴마다 같아지니까 $\pi$예요. $y=\tan 2x$의 주기는 $\dfrac\pi2$.

🧮 tan 방정식·부등식 — 한 주기에 하나, 끝은 점근선

$\tan x$ 는 한 주기 안에서 계속 커지므로 같은 값을 한 주기에 딱 한 번 갖는다. $\sin$·$\cos$ 이 한 주기에 두 번인 것과 다르다.
방정식 — $0\le x\lt2\pi$ 에서 $\tan x=-1$: 기준각 $\frac\pi4$, $\tan$ 이 음수인 곳은 2·4사분면이므로 $x=\frac{3\pi}4,\ \frac{7\pi}4$. 두 해의 차가 정확히 주기 $\pi$ 인지로 검산한다.
부등식 — $\tan x\ge\sqrt3$: 경계는 $x=\frac\pi3$ 이고 거기서부터 점근선 직전까지 값이 한없이 커지므로 $\frac\pi3\le x\lt\frac\pi2$, 그리고 주기 $\pi$ 뒤에 한 번 더 $\frac{4\pi}3\le x\lt\frac{3\pi}2$.
⚠️ 점근선은 절대 포함되지 않는다($\tan$ 이 정의되지 않는 자리). 부등호가 $\ge$ 여도 그 끝은 열려 있다.
$y=\tan(bx)$ 의 점근선 — 괄호 안을 $\frac\pi2+n\pi$ 로 놓고 $x$ 에 대해 푼다. 예: $y=\tan\frac x2$ 이면 $\frac x2=\frac\pi2+n\pi$ → $x=\pi+2n\pi$.

🎛️ $y=a\sin(bx+c)+d$ — 네 숫자가 하는 일

슬라이더 네 개를 하나씩 움직여 보세요. $a$는 위아래 폭(진폭), $b$는 빠르기(주기), $c$는 좌우 이동, $d$는 중심선의 높이예요. 오른쪽 읽기 상자에서 최대·최소·주기가 어떻게 나오는지 확인하세요.

숫자	하는 일	읽는 법
$a$	세로로 $\|a\|$배 (음수면 뒤집힘)	최대 $d+\|a\|$, 최소 $d-\|a\|$
$b$	가로로 $\frac1{\|b\|}$배 압축	주기 $\dfrac{2\pi}{\|b\|}$ ($\tan$은 $\dfrac{\pi}{\|b\|}$)
$c$	가로 이동	$bx+c=b\left(x+\frac cb\right)$ → 왼쪽으로 $\frac cb$
$d$	세로 이동	중심선 $y=d$

$y=2\sin\left(3x-\dfrac\pi2\right)+1$ 의 주기·최댓값·최솟값은?

1주기: $b=3$ → $\dfrac{2\pi}{3}$.

→ 3배 빨리 돈다.

2$\sin$은 $-1$~$1$, $a=2$배 → $-2$~$2$, $d=1$ 더하면 $-1$~$3$.

주기 $\dfrac{2\pi}3$, 최댓값 $3$, 최솟값 $-1$

🧮 삼각방정식·부등식 — 그래프에서 교점 읽기

$\sin x=k$의 해는 "높이가 $k$인 점"이에요. $0\le x\lt2\pi$에서 그래프 $y=\sin x$와 가로선 $y=k$의 교점을 세면 돼요. $k$를 움직여 보세요.

예제 1 — 방정식

$0\le x\lt2\pi$ 에서 $2\sin x-1=0$ 의 해는?

1$\sin x=\dfrac12$ 꼴로 정리.

2높이 $\dfrac12$인 점: 기준각 $\dfrac\pi6$, 높이가 양수인 1·2사분면 → $x=\dfrac\pi6,\ \pi-\dfrac\pi6=\dfrac{5\pi}6$.

→ 대칭 위치에 하나 더.

$x=\dfrac\pi6$ 또는 $x=\dfrac{5\pi}6$

예제 2 — 부등식

$0\le x\lt2\pi$ 에서 $\cos x\le-\dfrac12$ 의 해는?

1경계: $\cos x=-\dfrac12$ → $x=\dfrac{2\pi}3,\ \dfrac{4\pi}3$.

2그래프가 $y=-\dfrac12$ 아래 또는 위에 닿는 구간: 두 경계 사이($\cos$ 곡선의 골짜기).

$\dfrac{2\pi}3\le x\le\dfrac{4\pi}3$

예제 3 — 최대·최소

$y=2\cos\left(x-\dfrac\pi3\right)-1$ 의 최댓값과 최솟값은?

1가로 이동($-\frac\pi3$)은 최대·최소에 영향 없음. $\cos$은 $-1$~$1$.

2$2$배 → $-2$~$2$, $-1$ → $-3$~$1$.

최댓값 $1$, 최솟값 $-3$

🧩 sin 과 cos 이 섞여 있으면 — 하나로 통일하고 치환

$\sin$ 의 제곱과 $\cos$ 의 제곱이 한 식에 있으면 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ 로 하나로 통일한 뒤 치환한다. 이때 치환한 문자의 범위를 반드시 적는다: $t=\sin x$ 이면 $-1\le t\le1$.
예 1 — $0\le x\lt2\pi$ 에서 $2\cos^2 x+3\sin x-3=0$
① $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ → $2(1-t^2)+3t-3=0$ → $2t^2-3t+1=0$
② $(2t-1)(t-1)=0$ → $t=\frac12$ 또는 $1$ (둘 다 $-1\le t\le1$ 이라 살아남는다)
③ 되돌리기: $\sin x=\frac12$ 은 $x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6$ 로 둘, $\sin x=1$ 은 $x=\frac\pi2$ 로 하나 → 해는 셋
예 2 — $y=\cos^2 x+2\sin x-2$ 의 최댓값은? 통일하면 $y=-t^2+2t-1=-(t-1)^2$ 이고 $t=1$ 이 범위 안이므로 최댓값 $0$.
③에서 $t$ 하나가 $x$ 몇 개로 되돌아가는지는 그래프로 센다. $t=\pm1$ 이면 하나, 그 사이면 둘이다.

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것

파동 하나 = 진폭·주기·위상 세 숫자. 소리의 크기·높이·타이밍이 정확히 이 셋이다. 이퀄라이저는 진폭을, 피치 조절은 주기를 만진다.
주기 = 한 바퀴. 주파수(Hz)는 1초에 몇 바퀴. 우리나라 전기는 60Hz, 즉 1초에 60번 $\sin$ 곡선을 그린다.
반복하는 것은 $\sin$의 합으로 쓸 수 있다(푸리에). 그래서 MP3·JPEG·MRI가 있다.

💡 인사이트 — 다음 단원과 그 너머

다음 단원 사인법칙·코사인법칙은 이 함수를 삼각형에 다시 붙이는 일이에요. 그리고 미적분Ⅱ에서 $\sin$을 미분하면 $\cos$이 나와요. 높이의 변화율이 그림자라는 뜻인데, 원 위의 점을 떠올리면 당연해요. 점이 맨 오른쪽(그림자 최대)에 있을 때 높이가 가장 빨리 오르잖아요.

🏠 sin 곡선이 그려지는 곳

🔌

교류 전기

220V, 60Hz 사인파

🌊

조수

약 12시간 25분 주기

🌡️

계절 기온

1년 주기의 완만한 파동

🎸

기타 줄

진동 = sin, 배음 = 2배·3배 주파수

❤️

심전도

주기 신호를 sin의 합으로 분석

🎡

관람차 높이

$r\sin(\omega t)+h$

🏭 산업과 직업

🎧

음향·신호처리
노이즈 캔슬링은 소리를 sin으로 쪼개 반대 위상을 더하는 것. 음성 인식·음악 앱의 핵심.
🎓 전자공학 · 컴퓨터공학

📡

통신
5G·와이파이는 정보를 sin파의 진폭·위상·주파수에 실어 보낸다.
🎓 전자통신공학

🏥

의료 영상
MRI는 신호를 푸리에 변환해 영상으로 만든다. 심전도·뇌파 분석도 주파수 분석.
🎓 의공학 · 물리학

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전력
발전기가 만드는 교류 자체가 sin 곡선. 위상을 맞추는 것이 전력망 운영의 핵심.
🎓 전기공학