🚪 관문 특강 · 대수 Ⅱ 삼각함수

⭕ 삼각함수는 원이다 — 도는 점의 높이와 그림자

중학교에서 $\sin=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$으로 외웠다면, 여기서 관점을 한 번만 바꿔요. 삼각함수는 원 위를 도는 점의 높이($\sin$)와 그림자($\cos$)예요. 점이 한 바퀴 돌면 높이는 오르락내리락하고, 그 자취가 곧 $\sin$ 그래프예요. 이 그림 하나로 라디안·부호·각의 변환·그래프·주기가 전부 나와요. 공식 외울 것이 거의 없어져요.

① 값 읽기 ② 각의 변환 ③ 그래프 읽기 ④ 방정식·부채꼴

1도는 점에서 그래프가 나온다 (공식 없이)

▶ 재생을 누르면 점이 원 위를 돌아요. 왼쪽 원에서 점의 높이가 오른쪽 그래프에 실시간으로 그려져요. 슬라이더로 각을 직접 움직여도 돼요. 높이 대신 그림자(가로 위치)를 그리면 $\cos$ 그래프가 돼요.

보이나요? 반지름이 1인 원(단위원) 위의 점은 좌표가 $(\cos\theta,\ \sin\theta)$예요. 점이 왼쪽으로 가면 그림자($\cos$)가 음수, 아래로 가면 높이($\sin$)가 음수. 부호는 외우는 게 아니라 점의 위치를 보는 것이에요. 그리고 한 바퀴(360°)마다 같은 위치로 돌아오니까 그래프가 반복돼요. 그게 주기예요.

함께 생각하기 ①

$\sin 150°$ 의 값은? (슬라이더를 150°에 두고 높이를 읽어 보세요. 분수는 1/2 처럼)

2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것

먼저 각의 단위. 각을 "도" 대신 호의 길이로 재는 것이 호도법이에요. 반지름 1인 원에서 점이 지나간 호의 길이가 그대로 각이에요. 한 바퀴는 둘레 $2\pi$, 반 바퀴는 $\pi$. 그래서 $180°=\pi$ 라디안.

$180°=\pi\ \text{rad},\qquad l=r\theta,\qquad S=\tfrac12 r^2\theta$

도→라디안은 ×π/180. 부채꼴의 호의 길이는 "반지름 × 각", 넓이는 "½ × 반지름 × 호의 길이". 전부 θ가 라디안일 때만 성립.

정의는 단위원 위의 점 하나로 끝나요. 각 $\theta$만큼 돈 점 $P(x,y)$에 대해:

$\sin\theta=y$ (높이), $\cos\theta=x$ (그림자), $\tan\theta=\dfrac yx$ (기울기)

tan은 원점과 P를 잇는 직선의 기울기. 그래서 x = 0인 90°, 270°에서는 정의되지 않는다. sin²θ + cos²θ = 1 은 피타고라스 그 자체.

각의 변환 공식($\sin(\pi-\theta)$ 같은 것)은 외우지 않아요. 원 위의 점을 대칭이동시켜 보면 돼요. $\pi-\theta$는 $y$축 대칭(높이 그대로, 그림자 반대), $\pi+\theta$는 원점 대칭(둘 다 반대), $-\theta$는 $x$축 대칭(높이만 반대), $\dfrac\pi2-\theta$는 $y=x$ 대칭(높이와 그림자가 자리를 바꿈).

각	대칭	$\sin$	$\cos$
$\pi-\theta$	$y$축	$\sin\theta$ 그대로	$-\cos\theta$
$\pi+\theta$	원점	$-\sin\theta$	$-\cos\theta$
$-\theta$	$x$축	$-\sin\theta$	$\cos\theta$ 그대로
$\dfrac\pi2-\theta$	$y=x$	$\cos\theta$ (교환)	$\sin\theta$ (교환)
$\dfrac\pi2+\theta$	$y=x$ 뒤 $y$축	$\cos\theta$	$-\sin\theta$

그래프의 모양도 원에서 읽혀요. 높이는 $-1$과 $1$ 사이를 오가고 한 바퀴($2\pi$)마다 반복돼요. 앞에 $a$를 곱하면 위아래로 $|a|$배(진폭), $x$에 $b$를 곱하면 $b$배 빨리 돌아 주기가 $\dfrac{2\pi}{|b|}$, 뒤에 $d$를 더하면 전체가 $d$만큼 올라가요.

$y=a\sin(bx+c)+d$: 최대 $d+|a|$, 최소 $d-|a|$, 주기 $\dfrac{2\pi}{|b|}$

cos도 같다. tan은 최대·최소가 없고 주기는 π/|b|, 그림자가 0이 되는 곳에 점근선.

함께 생각하기 ②

$y=3\sin 2x+1$ 의 최댓값은?

3원 위의 점 카드 — 핵심 도구

각이 주어지면 계산 전에 카드 세 칸부터 채워요: ① 몇 사분면인가(부호) ② $x$축과 이루는 기준각은 얼마인가(값의 크기) ③ 그러면 $\sin,\cos,\tan$은? 특수각 값은 $30°,45°,60°$ 세 개만 알면 나머지는 전부 대칭이에요.

기준각	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$30°=\dfrac\pi6$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac{\sqrt3}3$
$45°=\dfrac\pi4$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$1$
$60°=\dfrac\pi3$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac12$	$\sqrt3$

불변 앵커 $\sin$은 높이, $\cos$은 그림자, 둘 다 원 위의 점이다. 부호는 사분면에서, 크기는 기준각에서 읽는다.

카드 채우기 연습이에요. 각이 매번 바뀌어요.

4유형별 완전정복

네 가지 유형 모두 원 위에 점을 찍는 것에서 시작해요. "다른 문제로"를 눌러 각이 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.

①

값 읽기

사분면 부호 × 기준각 크기

핵심 라디안이면 $\pi=180°$로 바꿔 사분면부터 찾는다. 부호는 사분면, 크기는 기준각. $\tan$은 기울기라서 1·3사분면에서 양수.

②

각의 변환

공식 대신 대칭이동

핵심 $\pi\pm\theta$, $-\theta$는 $\sin\leftrightarrow\sin$ 그대로 두고 부호만 대칭으로 결정. $\dfrac\pi2\pm\theta$는 $\sin\leftrightarrow\cos$ 교환하고 부호 결정. $\theta$를 작은 예각으로 놓고 점을 옮겨 보면 틀리지 않는다.

③

그래프 읽기

진폭·주기·최대·최소

핵심 $y=a\sin(bx+c)+d$에서 $|a|$는 위아래 폭, $b$는 빠르기(주기 $2\pi/|b|$), $d$는 중심선의 높이. 최대·최소는 $d\pm|a|$.

④

방정식·부채꼴

원에서 해를 찾기 · l = rθ

핵심 $\sin x=k$는 "높이가 $k$인 점"을 원에서 찾는다 → 한 바퀴 안에 보통 2개, 대칭 위치. 부채꼴은 $l=r\theta$, $S=\tfrac12r^2\theta$ (라디안).

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 원 위에 점부터 찍고 풀어 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

⭕ 삼각함수 한 장 요약

정의단위원 위의 점 $(\cos\theta,\sin\theta)$ · $\tan$ = 기울기 · $\sin^2+\cos^2=1$

라디안$180°=\pi$ · $l=r\theta$ · $S=\frac12r^2\theta$

부호1사분면 모두 + · 2사분면 $\sin$만 + · 3사분면 $\tan$만 + · 4사분면 $\cos$만 +

각의 변환$\pi\pm\theta,-\theta$: 이름 그대로 + 부호 · $\frac\pi2\pm\theta$: $\sin\leftrightarrow\cos$ 교환 + 부호

그래프$a\sin(bx+c)+d$: 최대 $d+|a|$ · 최소 $d-|a|$ · 주기 $\frac{2\pi}{|b|}$ ($\tan$은 $\frac{\pi}{|b|}$)

한 문장$\sin$은 높이, $\cos$은 그림자, 둘 다 원 위의 점

📌 어른이 되어도 기억할 것

소리, 빛, 전기, 파도, 심장 박동, 계절의 기온 변화는 전부 반복하는 것이고, 반복하는 것은 전부 $\sin$으로 쓸 수 있어요. 음악 앱의 이퀄라이저는 소리를 $\sin$ 여러 개의 합으로 쪼갠 것이에요.
GPS와 삼각측량, 별까지의 거리, 지도 제작은 각으로 거리를 재는 삼각법이에요. 삼각함수는 "각을 알면 길이를 안다"는 도구예요.
라디안을 쓰는 이유는 "호의 길이 = 반지름 × 각"이라는 단순한 관계 때문이에요. 공학과 물리의 모든 회전 계산은 라디안으로 해요.

💡 다음으로 이어지는 것

도는 점의 "빠르기"를 재면 미적분Ⅱ의 $\sin$ 미분이 되고, 단위원의 점을 복소수로 보면 $\cos\theta+i\sin\theta$(대학 수학의 오일러 공식)이 돼요. 그리고 다음 단원 사인법칙·코사인법칙은 이 원을 임의의 삼각형에 붙인 것이에요.

🏠 이미 보고 있던 곳

관람차 의자의 높이, 시계 바늘 끝의 위치, 스피커의 진동, 낮 길이의 변화, 조수 간만. 한 바퀴 돌아 제자리로 오는 모든 것에 $\sin$과 $\cos$이 있어요.

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

소리·영상·통신 신호는 $\sin$의 합으로 분해해서 처리해요(음악 앱·5G·MRI). 회전하는 모든 기계(모터·바퀴·로봇 관절)의 제어, GPS 삼각측량, 건축 구조 계산까지. 🎓 전자공학 · 기계·로봇공학 · 물리학

단원 앱으로 이어서 → 삼각함수의 정의 · 삼각함수의 그래프 · 사인법칙·코사인법칙

관문 특강 · 삼각함수는 원이다 · 대수 · 표준 커리큘럼 제작