$\sum$ 기호만 보면 손이 멈추는 건 수학을 못해서가 아니라 읽는 법을 안 배워서예요. $\sum$은 그냥 "항을 하나씩 더하는 반복문"이에요. 아래에 1을 넣고, 위의 $n$까지 올리면서, 옆의 식을 매번 더한다. 읽는 법·쓰는 법·쪼개는 법 세 가지만 익히면 수열 문제의 절반은 계산 문제로 바뀌어요.
식을 고르고 "다음 항 ▸"을 눌러 보세요. $k$가 1부터 하나씩 올라가면서 항이 생기고, 마지막에 전부 더해져요. 이게 $\sum$의 전부예요.
$3$을 골라 봤나요? 항에 $k$가 없어도 $k$는 $n$번 돌아요. 그래서 $\sum_{k=1}^{n}3=3n$이에요. "상수를 $\sum$하면 그냥 상수"라고 생각하는 실수가 수열 오답의 단골이에요. 반복문은 항에 $k$가 있든 없든 $n$번 돈다.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(2k-1)$ 의 값은? (펼쳐서 더해 보세요)
$\sum$의 정의는 위젯에서 본 그대로예요. $k$는 카운터, $a_k$는 매번 더하는 것. 카운터 이름은 $k$든 $i$든 상관없어요.
등차수열의 합은 가우스의 뒤집어 더하기예요. $1+2+\cdots+100$을 거꾸로 쓴 것과 더하면 $101$이 100개. 그래서 "(첫 항 + 끝 항) × 개수 ÷ 2". 등비수열의 합은 $S$에 $r$을 곱해 빼면 가운데가 전부 상쇄돼서 나와요.
$\sum$의 성질은 반복문의 성질이에요. 더하는 것을 두 덩이로 나눠 따로 반복해도 되고(합의 분리), 매번 곱하는 상수는 밖으로 꺼내도 돼요. 단, 곱은 분리되지 않아요. $\sum a_kb_k\ne\sum a_k\sum b_k$.
자연수 거듭제곱의 합은 세 개만 알면 돼요. 이걸로 $\sum(ak^2+bk+c)$ 꼴은 전부 계산돼요.
망원합(부분분수)은 항을 두 조각의 차로 쪼개면 앞뒤가 지워지는 것이에요. 망원경이 접히듯 가운데가 전부 사라지고 처음과 끝만 남아요.
마지막으로 귀납적 정의(점화식). $a_{n+1}=a_n+3$은 "다음 항 = 이전 항 + 3"이라는 갱신 규칙이에요. 반복문의 a = a + 3과 같아요. 첫 항만 주면 항이 줄줄이 나와요.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}1$ 의 값은? (함정 조심)
수열 문제는 말 ↔ $\sum$ ↔ 펼친 식 세 가지 표현을 오가는 번역이에요. 어느 쪽이 주어지든 나머지 둘로 옮겨 적는 습관이 전부예요.
| 말 | $\sum$ | 펼친 식 |
|---|---|---|
| 1부터 10까지 짝수의 합 | $\sum_{k=1}^{5}2k$ | $2+4+6+8+10$ |
| 처음 $n$개 홀수의 합 | $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ | $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ |
| 3의 거듭제곱을 5개 | $\sum_{k=1}^{5}3^k$ | $3+9+27+81+243$ |
| $k$가 3부터 7까지 | $\sum_{k=3}^{7}k$ | $3+4+5+6+7$ (5개) |
번역 연습이에요. 작은 $n$이라 손으로도 확인할 수 있어요.
네 가지 유형 모두 세 항만 펼쳐 보기 → 번역 → 공식 순서예요. "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.
어떤 유형인지 알려주지 않아요. 세 항만 펼쳐 보는 것부터 시작하세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.
for 반복문과 완전히 같아요. 스프레드시트의 SUM, 통계의 평균($\frac1n\sum x_i$), 물리의 총합, 전부 이 기호 하나예요.단원 앱으로 이어서 → 등차수열과 등비수열 · 수열의 합 Σ · 귀납적 정의와 수학적 귀납법