Ⅲ. 수열

➕ 수열의 합 Σ

더하기를 기호 하나로 — 읽고, 쪼개고, 공식으로 계산한다

📋 더하기를 기호 하나로

💥 왜 배우나
포탄을 피라미드 모양으로 쌓으면 위에서부터 $1, 4, 9, 16, \dots$개예요. 10층이면 몇 개일까요? $1^2+2^2+\cdots+10^2$을 일일이 더해도 되지만, 공식 $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$에 $10$을 넣으면 3초 만에 $385$예요. 100층이면? 여전히 3초. 더하기를 기호 하나($\sum$)로 적고, 공식으로 한 번에 계산하는 것, 이것이 컴퓨터가 없던 시절 수학자들이 만든 "계산 압축 기술"이고, 지금은 프로그래밍의 반복문이에요.
🚪 Σ 기호가 아직 무섭다면 먼저 → 관문 특강: 수열과 Σ 리터러시 · 앞 단원 등차수열과 등비수열
🏛️
아르키메데스 (기원전 3세기) — 제곱의 합
아르키메데스는 나선 도형의 넓이를 구하려고 $1^2+2^2+\cdots+n^2$의 공식을 찾아냈어요. 넓이를 가는 조각으로 잘라 더하는 그의 방법은 2,000년 뒤 적분이 되었어요. $\sum$은 "무한히 잘게 잘라 더하기"로 가는 첫 걸음이에요.

∑ Σ의 뜻과 성질

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n$. 아래 시작값, 위 끝값, 옆 항. 식을 고르고 펼쳐 보세요.

$n$5

성질 — 반복문의 성질

⚠️ 두 가지 함정
① $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=cn$ — 상수도 $n$번 더한다(위 위젯에서 $3$을 골라 보세요). ② $\sum a_kb_k\ne\sum a_k\sum b_k$ — 곱은 분리되지 않는다. $\sum a_k^2\ne\left(\sum a_k\right)^2$도 마찬가지.
🔑 부분합과 항의 관계
$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$이면 $a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge2)$, $a_1=S_1$. "$n$번째까지의 합에서 $(n-1)$번째까지의 합을 빼면 $n$번째 항". 시작이 1이 아니면 $\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=1}^{m-1}a_k$.

🔢 자연수 거듭제곱의 합 — 세 개면 충분

$n$을 움직이며 세 공식이 실제 합과 일치하는지 확인하세요. 이 셋과 Σ의 성질만 있으면 $\sum(ak^2+bk+c)$ 꼴은 전부 계산돼요.

$n$5
$\sum k$
$\sum k^2$
$\sum k^3$
✅ 공식
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2,\qquad\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\qquad\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}2\right\}^2$$
🔑 읽는 법
첫 번째는 가우스의 뒤집어 더하기. 세 번째는 "첫 번째의 제곱"이라는 예쁜 사실($1+8+27=36=6^2$). 두 번째는 아래 유도로.

$\sum k^2$ 유도 — 세제곱 차를 망원합으로

1$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ 을 $k=1$부터 $n$까지 더한다.
2왼쪽은 망원합: $(n+1)^3-1^3$ (가운데가 전부 지워진다).
3오른쪽: $3\sum k^2+3\sum k+n=3\sum k^2+\dfrac{3n(n+1)}2+n$.
4정리하면 $3\sum k^2=(n+1)^3-1-\dfrac{3n(n+1)}2-n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}2$.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k^2-k+1)$ 의 값은?
1쪼개기: $2\sum k^2-\sum k+\sum 1$.
2$2\cdot\dfrac{10\cdot11\cdot21}6-\dfrac{10\cdot11}2+10=770-55+10$.
$725$

🔗 여러 가지 수열의 합

① 망원합 — 두 조각의 차로 쪼개면 가운데가 지워진다

$\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ (통분해서 확인). 이렇게 쪼개 놓고 펼치면 앞뒤가 상쇄돼요. $n$을 바꿔 보세요.

$n$4
✅ 자주 쓰는 쪼개기
$\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$,   $\dfrac1{k(k+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+2}\right)$ (두 칸 건너 지워져 앞 두 항·뒤 두 항이 남음),   $\dfrac1{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac12\left(\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k+1}\right)$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\frac1{k(k+2)}$ 의 값은?
1$\dfrac12\sum\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+2}\right)$ 로 쪼갠다.
2펼치면 $\dfrac12\left[\left(1-\dfrac13\right)+\left(\dfrac12-\dfrac14\right)+\left(\dfrac13-\dfrac15\right)+\cdots+\left(\dfrac1{10}-\dfrac1{12}\right)\right]$ — 두 칸 건너 지워져 $1, \dfrac12$과 $-\dfrac1{11}, -\dfrac1{12}$만 남는다.
3$\dfrac12\left(1+\dfrac12-\dfrac1{11}-\dfrac1{12}\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{175}{132}=\dfrac{175}{264}$.
$\dfrac{175}{264}$

② 유리화 — 분모의 루트를 없애면 차가 된다

$\displaystyle\sum_{k=1}^{24}\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k}$ 의 값은?
1분모·분자에 $\sqrt{k+1}-\sqrt k$를 곱하면 분모가 $1$: 항 $=\sqrt{k+1}-\sqrt k$.
2망원합: $(\sqrt2-\sqrt1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{25}-\sqrt{24})=\sqrt{25}-1$.
$4$

③ 등비수열의 합을 Σ로

$\displaystyle\sum_{k=1}^{6}3\cdot2^{k-1}$ 의 값은?
1첫째항 $3$, 공비 $2$, 항 수 $6$인 등비수열의 합.
2$\dfrac{3(2^6-1)}{2-1}=3\cdot63=189$.
$189$
⚠️ 읽는 순서
어떤 합이든 ① 항 세 개를 펼쳐 본다 → ② 다항식이면 거듭제곱 합 공식, 분수면 쪼개기, 루트면 유리화, 곱하는 규칙이면 등비 → ③ 남는 항만 계산. 막히면 $k=1,2,3$부터.
➗ 유리화하면 앞에 계수가 붙기도 한다
분모가 $\sqrt{k+1}+\sqrt k$ 이면 유리화한 분모가 $(k+1)-k=1$ 이라 계수가 붙지 않는다. 하지만 두 근호 안의 차가 1이 아니면 그 차가 분모에 남아 계수가 생긴다.
$\dfrac1{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}}$ 를 유리화하면 분모가 $(2k+1)-(2k-1)=2$ 이므로 $$\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}2$$
예 — $\displaystyle\sum_{k=1}^{24}\frac1{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}}=\frac12\left(\sqrt{49}-\sqrt1\right)=\frac12\times6=3$
부분분수의 $\dfrac1{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac12\left(\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k+1}\right)$ 와 같은 자리에서 같은 이유로 $\frac12$ 이 생긴다. 유리화한 분모가 얼마인지 먼저 계산하는 습관이 이 계수를 지킨다. 그리고 남는 항에서 $\sqrt1$ 을 빼는 것도 잊지 않는다.

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것
  1. Σ는 반복문(for)이다. 스프레드시트의 SUM, 통계의 평균 $\frac1n\sum x_i$, 물리의 총합, 전부 이 기호.
  2. 망원합: 항을 "차"로 쪼개면 가운데가 지워지고 양 끝만 남는다. 누적량의 변화를 계산하는 모든 곳에서 쓴다.
  3. 거듭제곱의 합 공식 세 개 — 특히 $\sum k=\frac{n(n+1)}2$는 평생 쓴다.
💡 인사이트 — 적분으로
미적분Ⅰ의 정적분은 "곡선 아래 넓이를 가는 직사각형 $n$개로 쪼개 Σ로 더한 뒤 $n$을 무한히 키운 것"이에요. 아르키메데스가 하던 일이 그대로 공식이 된 것이죠. 그리고 망원합 $S_n-S_{n-1}=a_n$은 "누적의 차 = 순간 변화"라는 미분·적분 관계의 씨앗이에요.
🏠 Σ가 돌아가는 곳
📊
엑셀 SUM
=SUM(A1:A100)이 곧 Σ
🌧️
누적 강수량
일별 강수의 Σ
🎱
포탄 피라미드
$\sum k^2$ 개
📱
데이터 사용량
이번 달 총합 = Σ
🏃
누적 거리
매일 달린 거리의 합
💳
할부 총액
이자 포함 회차 합
🏭 산업과 직업
💻
프로그래밍
for 반복문과 누적 변수. 알고리즘의 실행 시간(예: $\sum k=O(n^2)$)을 세는 것도 Σ.
🎓 컴퓨터공학
📈
통계·데이터
평균·분산·상관계수는 전부 Σ로 정의된다. 데이터 분석의 첫 줄.
🎓 통계학 · 데이터사이언스
🏦
금융
대출 상환·연금·채권은 등비수열의 Σ. 현재가치 계산의 뼈대.
🎓 금융공학 · 회계
🔬
물리·공학
여러 힘의 합, 신호의 합성, 유한요소 해석은 작은 조각의 Σ.
🎓 물리학 · 기계공학

🔥 수열의 합 퀴즈

문제 1 / 10점수 0 / 10

✅ 정리

항목내용
뜻$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+\cdots+a_n$ · 개수 = 끝 − 시작 + 1
성질합 분리 · 상수 밖으로 · $\sum c=cn$ · 곱은 분리 안 됨
거듭제곱 합$\frac{n(n+1)}2$ · $\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ · $\left\{\frac{n(n+1)}2\right\}^2$
망원합$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ → 양 끝만 남음
부분합$a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge2$), $a_1=S_1$
🔑 한 줄 요약
세 항 펼쳐 보고 → 다항식은 공식, 분수는 쪼개기, 루트는 유리화, 곱하는 규칙은 등비 → 남는 것만 계산.

자가 점검

약점 태그

대수:Σ의 성질대수:거듭제곱의 합대수:망원합대수:부분합
➡️ 다음 단원
"다음 항 = 이전 항으로부터"를 무한히 → 귀납적 정의와 수학적 귀납법. 대수 허브로.