sin, cos, tan — 갑자기 영어 세 글자가 나와서 겁먹었나요? 괜찮아요. 셋 다 사실은 분수 하나예요. 직각삼각형에서 변 두 개를 골라 나눈 값에 이름만 붙인 거예요. 왜 그런 이름이 필요한지, 중2에서 배운 닮음에서부터 천천히 따라가 볼게요. 공식부터 외우지 않을 거예요.
① 삼각비 값 구하기② 특수각 계산③ 한 삼각비로 나머지④ 변의 길이⑤ 활용
1각이 같으면 비가 같아요 — 닮음에서 출발 (공식 없이)
중2 닮음을 떠올려요. 두 각이 같으면 두 삼각형은 닮음(AA)이에요. 직각삼각형은 이미 직각 하나를 갖고 있으니 예각 하나만 같아도 전부 닮음이에요. 닮은 삼각형은 변이 같은 배율로 늘어나니까, 변끼리 나눈 비는 크기와 상관없이 그대로예요. 슬라이더로 삼각형을 키워 보면서 표의 비가 정말 안 변하는지 확인해요.
각 A크기1배
세 변의 길이는 전부 바뀌는데 나눈 값은 하나도 안 바뀌어요. 반대로 각 A를 바꾸면 비가 바뀌고요. 그러니까 이 비는 "삼각형의 값"이 아니라 "각의 값"이에요. 각 하나에 비 세 개가 딸려 있는 셈이에요. 비·비율이 가물가물하면 🎯 비율 특강을 먼저 봐도 좋아요.
변이 셋이면 "둘을 골라 나누는" 비도 여러 개예요. 그중 자주 쓰는 세 개에 이름을 붙였어요. 기준이 되는 각을 A라고 할 때, 직각의 맞은편이 빗변, 각 A와 마주 보는 변이 높이, 각 A에 붙어 있는(빗변이 아닌) 변이 밑변이에요.
sin A = 높이 / 빗변사인 · "마주 보는 변 ÷ 빗변"
cos A = 밑변 / 빗변코사인 · "붙은 변 ÷ 빗변"
tan A = 높이 / 밑변탄젠트 · "마주 보는 변 ÷ 붙은 변"
여기서 제일 많이 헷갈리는 게 하나 있어요. 높이는 "세로"가 아니라 "각과 마주 보는 변"이에요. 그래서 기준각이 ∠A에서 ∠B로 바뀌면 높이와 밑변이 서로 자리를 바꿔요. 버튼을 눌러 직접 비교해요.
빗변 (직각의 맞은편)높이 (각과 마주 보는 변)밑변 (각에 붙은 변)
⚠ 가장 흔한 함정 — 빗변은 언제나 같은 변(직각의 맞은편, 가장 긴 변)이지만, 높이와 밑변은 "어느 각에서 보느냐"에 따라 바뀌어요. 그래서 sin A = cos B, cos A = sin B가 돼요. ∠A와 ∠B를 더하면 90°니까, 이걸 sin A = cos (90° − A)라고도 써요.
📏불변 앵커 — 먼저 빗변을 찾고, 각에서 본 높이·밑변을 정해요. 어떤 삼각비 문제든 첫 동작은 같아요. ① 직각의 맞은편 = 빗변 ② 기준각과 마주 보는 변 = 높이 ③ 남은 변 = 밑변. 이 세 줄을 그림에 적고 나면 sin·cos·tan은 그냥 나누기예요.
함께 생각하기 ②
∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 BC = 5, CA = 12, AB = 13이에요. sin B는 얼마일까요? (분수로 · ∠B에서 보면 마주 보는 변이 무엇인지 먼저 정해요)
3핵심 도구 — 30°·45°·60°는 삼각형을 그려서 읽어요
보통 각의 삼각비는 표를 찾아야 하지만, 30°·45°·60°는 직접 만들 수 있어요. 첫 번째 재료는 정삼각형이에요. 한 변이 2인 정삼각형을 반으로 자르면 30°·60°·90° 삼각형이 나와요. ▶ 재생을 눌러 보세요.
두 번째 재료는 정사각형이에요. 한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 45°·45°·90° 삼각형이 나와요.
이 두 삼각형에서 "각에서 본 높이·밑변·빗변"을 읽으면 표가 완성돼요. 칸을 눌러 하나씩 채워 보세요. 어느 변을 어느 변으로 나눴는지 아래에 알려 줘요.
💡 외우는 요령 — sin은 30° → 45° → 60°로 갈수록 1/2, √2/2, √3/2 — 분자의 근호 안이 1, 2, 3으로 커져요. cos은 그 반대 순서예요. tan 45° = 1을 가운데 두고 tan 30°는 1보다 작고(√3/3), tan 60°는 1보다 커요(√3). 그래도 헷갈리면 두 삼각형을 다시 그려서 읽는 게 가장 확실해요.
함께 생각하기 ③
정사각형 반쪽 삼각형을 떠올려요. tan 45°의 값은 얼마일까요?
4유형별 완전정복 — 다섯 가지면 충분해요
어떤 문제든 ① 빗변 찾기 → ② 기준각에서 높이·밑변 정하기 → ③ 필요한 비 고르기 순서예요. 다섯 유형을 하나씩 무한히 연습할 수 있어요.
①
삼각비 값 구하기
세 변이 주어졌을 때 sin · cos · tan
핵심 기준각을 먼저 확인해요. 빗변은 직각의 맞은편, 높이는 기준각과 마주 보는 변, 밑변은 기준각에 붙은 변이에요. 값은 기약분수로 써요.
②
특수각의 삼각비
30° · 45° · 60° — 표를 읽거나 삼각형을 그려서
핵심 헷갈리면 1 : √3 : 2(정삼각형 반쪽)와 1 : 1 : √2(정사각형 반쪽)를 그려서 읽어요. 값을 외우는 것보다 그림이 안전해요.
③
한 삼각비로 나머지 구하기
피타고라스로 남은 변을 먼저 구해요
핵심 sin A = 3/5 이면 높이 3, 빗변 5인 삼각형을 그려요. 남은 변은 피타고라스로 구해요(4). 그러면 cos A · tan A가 그냥 읽혀요. 헷갈리면 🔺 피타고라스 특강을 먼저 봐요.
④
삼각비로 변의 길이 구하기
아는 변 × 삼각비 = 구하는 변
핵심 구하는 변과 아는 변이 어느 비에 함께 들어 있는지 골라요. 높이와 빗변이면 sin, 밑변과 빗변이면 cos, 높이와 밑변이면 tan이에요.
⑤
활용 — 높이와 거리 재기
닿을 수 없는 길이를 각으로 재요
핵심 그림에서 직각삼각형을 먼저 찾아요. 올려본각·내려본각은 수평선과 이루는 각이에요. 밑변을 알고 높이를 구하면 tan, 빗변이 끼면 sin·cos예요.
5실전 총정리 — 유형 섞어서
이번엔 어떤 유형인지 안 알려드려요. 빗변부터 찾고 기준각에서 높이·밑변을 정한 다음 풀어봐요. 틀리면 어느 유형인지 알려드릴게요. 5문제를 첫 시도에 다 맞히면 도장이 찍혀요.
6마무리 치트시트
📏 삼각비 한 장 요약
먼저 이름 붙이기빗변 = 직각의 맞은편 · 높이 = 기준각과 마주 보는 변 · 밑변 = 기준각에 붙은 변
sin A높이 ÷ 빗변
cos A밑변 ÷ 빗변
tan A높이 ÷ 밑변
특수각 30°sin 1/2 · cos √3/2 · tan √3/3
45°sin √2/2 · cos √2/2 · tan 1
60°sin √3/2 · cos 1/2 · tan √3
한 비로 나머지sin A = a/c → 남은 변은 피타고라스로 · 그다음 그냥 읽어요
변의 길이높이 = 빗변 × sin A · 밑변 = 빗변 × cos A · 높이 = 밑변 × tan A
⚠ 기준각이 바뀌면높이와 밑변이 자리를 바꿔요 · sin A = cos B (A + B = 90°)