사진을 가로·세로 2배로 키워서 인화하면 종이는 몇 배 들까요? 2배가 아니라 4배예요. 길이·넓이·부피는 서로 다른 속도로 커져요. "닮음비가 1 : 2면 넓이비도 1 : 2"라고 쓰고 싶은 마음, 충분히 이해해요 — 격자 칸과 블록을 직접 세어 보면 왜 제곱·세제곱인지 눈에 보여요.
① 대응변 길이② 넓이비 → 넓이③ 부피비 → 부피④ 닮음 조건 판별⑤ 평행선과 선분의 비
1감 잡기 — 칸을 세어 보면 보여요 (공식 없이)
한 변이 1인 정사각형이 있어요. 한 변을 k배로 키우면 칸은 몇 개가 될까요? 슬라이더로 k를 정하고 ▶ 칸 세기를 눌러 직접 세어 보세요.
한 변×2
한 변이 2배면 가로도 2배, 세로도 2배라서 칸은 2 × 2 = 4개예요. 3배면 3 × 3 = 9개. 넓이는 길이를 두 번 곱한 것이라 배율도 두 번 곱해져요 — 그래서 제곱이에요.
이번엔 블록이에요. 한 변이 1인 정육면체를 k배로 키우면 작은 블록이 몇 개 필요할까요?
한 변×2
한 층에 k × k개, 그 층이 k개 쌓이니까 k × k × k = k³개예요. 부피는 길이를 세 번 곱한 것이라 배율도 세 번 — 세제곱이에요.
함께 생각하기 ①
한 변을 5배로 키우면 칸은 몇 개가 될까요? (슬라이더는 4까지지만, 규칙을 믿고 계산해 보세요.)
칸
함께 생각하기 ②
한 변이 4배인 정육면체를 만들려면 작은 블록이 몇 개 필요할까요?
개
2닮음이 뭔지, 그리고 공식은 읽는 것
모양은 같고 크기만 다른 두 도형을 닮음이라고 하고, 기호 ∽로 써요. 닮은 두 도형에서는 대응변의 길이의 비가 모두 같고(이 비가 닮음비예요), 대응각의 크기는 같아요.
△ABC ∽ △DEF
∽ 양쪽에서 같은 자리 글자끼리 대응해요: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. 그래서 변 AB의 대응변은 DE예요.
1단계에서 센 것을 그대로 식으로 쓰면 이렇게 돼요. 닮음비가 m : n이면 —
둘레비 = m : n길이는 그대로 한 번
넓이비 = m² : n²칸 수 = 가로 × 세로 → 두 번
부피비 = m³ : n³블록 수 = 가로 × 세로 × 높이 → 세 번
🎯 비율 특강에서 본 감각 그대로예요. "1 : 2"는 "작은 쪽이 1칸이면 큰 쪽은 2칸"이라는 뜻이었죠. 닮음비는 그 칸 세기를 도형의 변에 붙인 것뿐이에요. 비의 뜻이 흐릿하면 여기서 다시 봐요 → 비율·퍼센트 감각 리셋 특강
⚠ 가장 흔한 실수 — 닮음비 1 : 2를 넓이에도 그대로 쓰는 거예요. 넓이비는 1² : 2² = 1 : 4, 부피비는 1³ : 2³ = 1 : 8이에요. 겉넓이도 "넓이"니까 제곱, 부피만 세제곱이에요. 그리고 닮음비는 작은 것 : 큰 것 순서를 문제가 정한 대로 따라가요.
함께 생각하기 ③
닮음비가 2 : 3인 두 삼각형의 넓이비는 얼마일까요? (2:3처럼 써요.)
함께 생각하기 ④
닮음비가 1 : 3인 두 상자의 부피비는 얼마일까요?
3핵심 도구 — 닮음 표 (길이 · 넓이 · 부피가 함께 움직여요)
도형을 고르고 닮음비를 바꿔 보세요. 대응변·둘레는 닮음비 그대로, 넓이는 제곱, 부피는 세제곱으로 따라와요.
닮음비1 : 2
🔍불변 앵커 — 닮음비를 먼저 찾아요. 길이는 그대로, 넓이는 제곱, 부피는 세제곱. 문제에 넓이·부피가 나와도 출발은 언제나 "대응변 두 개로 닮음비 구하기"예요. 제곱·세제곱은 그다음 한 줄이에요.
이제 표를 직접 채워 볼까요? 대응변 두 개에서 닮음비를 구하고, 둘레비·넓이비·부피비를 이어서 써요. 아는 건 파란색, 채울 칸은 입력칸이에요. 비는 2:3처럼 써요.
몇 개 더 해볼까요? 매번 다른 닮음비예요.
4유형별 완전정복
이제 진짜 문제로 가요. 5가지 유형만 알면 다 풀려요 — 그림 → 표 → 식 → 풀이 순서예요. 각 유형의 "▶ 재생"을 눌러서 작은 도형이 큰 도형으로 어떻게 커지는지 눈으로 먼저 확인해요.
①
대응변 길이 구하기
닮음비 한 번, 비례식 한 줄
핵심 주어진 대응변 한 쌍으로 닮음비를 구해요. 구하려는 변의 대응변은 ∽ 양쪽 같은 자리 글자로 찾고, 같은 비로 비례식을 세워요.
②
넓이비로 넓이 구하기
닮음비 → 제곱 → 비례식
핵심 닮음비 m : n을 먼저 구하고 제곱해서 넓이비 m² : n²를 만들어요. 그다음에야 넓이 비례식이에요. 길이 비를 넓이에 그대로 쓰면 안 돼요.
③
부피비로 부피 구하기
그릇에 담긴 물 · 세제곱
핵심 닮음비 m : n → 부피비 m³ : n³. 원뿔 그릇에 높이의 1/n까지 물을 채우면 물 부분도 원뿔이고 전체와 닮음(닮음비 1 : n)이라서, 물의 부피는 전체의 1/n³이에요.
④
삼각형 닮음 조건 판별
SSS · SAS · AA — 무엇이 주어졌나 보기
핵심 세 변의 비가 모두 같으면 SSS, 두 변의 비가 같고 그 끼인각이 같으면 SAS, 두 각이 각각 같으면 AA예요. 각이 하나만 주어졌으면 나머지 각은 180°에서 빼서 찾아요. 비가 하나라도 다르거나 각이 끼인각이 아니면 닮음이라고 할 수 없어요.
⑤
평행선과 선분의 길이 비
DE ∥ BC 이면 △ADE ∽ △ABC
핵심 DE ∥ BC면 ∠A는 공통, ∠ADE = ∠ABC(동위각)라서 △ADE ∽ △ABC (AA)예요. 닮음비는 AD : AB(전체 변끼리)예요. 그래서 DE : BC = AD : AB이고, AD : DB가 아니에요. 조각끼리 비교할 때는 AD : DB = AE : EC예요.
5실전 총정리 — 유형 섞어서
이번엔 어떤 유형인지 안 알려드려요. 문제를 읽고 "닮음비가 뭐지?"를 먼저 생각해서 풀어봐요. 틀리면 어느 유형인지 알려드릴게요. 5문제를 첫 시도에 다 맞히면 완주 도장이 찍혀요.
6마무리 치트시트
🔍 닮음 한 장 요약
닮음비 m : n → 둘레비 m : n · 넓이비 m² : n² · 부피비 m³ : n³길이가 k배면 넓이는 k²배, 부피는 k³배 — 칸 세기·블록 세기에서 봤어요
∽ 순서같은 자리 글자끼리 대응 · AB의 대응변은 DE
출발은 언제나 닮음비대응변 두 개 → 닮음비 → 그다음 제곱·세제곱
① 대응변닮음비 = 대응변의 비 → 비례식 한 줄
② 넓이닮음비 제곱 먼저, 넓이 비례식은 그다음
③ 부피닮음비 세제곱 · 원뿔 물 높이 1/n → 부피 1/n³
④ 닮음 조건SSS(세 변 비) · SAS(두 변 비 + 끼인각) · AA(두 각)
⑤ DE ∥ BC△ADE ∽ △ABC · DE : BC = AD : AB (AD : DB 아님!)