"a² + b² = c²"는 외웠는데, 막상 문제에서 어느 변이 c인지, 더해야 하는지 빼야 하는지 헷갈리나요? 그럴 수 있어요 — 이 식은 외우는 공식이 아니라 정사각형 세 개의 넓이 이야기예요. 칸을 직접 옮겨 보면서 시작해요.
① 빗변 구하기② 다른 한 변 구하기③ 피타고라스 수④ 좌표 두 점 거리⑤ 사다리 · 대각선
1정사각형 세 개 넓이 퍼즐 (공식 없이)
직각삼각형의 세 변에 각각 정사각형을 붙여 볼게요. 초록 칸과 파란 칸을 전부 빨간 정사각형으로 옮기면 딱 맞게 채워져요. ▶ 칸 옮기기를 눌러 보세요. 슬라이더로 변을 바꾸면 넓이 숫자도 함께 바뀌어요.
변 a3
변 b4
a² 칸b² 칸빗변 위 정사각형 c²
변을 어떻게 바꿔도 작은 두 정사각형의 넓이를 더하면 큰 정사각형의 넓이가 돼요. 3·4일 때는 9 + 16 = 25, 6·8일 때는 36 + 64 = 100이에요. 칸이 딱 안 맞는 변(예: 2·3)에서도 넓이 숫자는 여전히 4 + 9 = 13으로 맞아요 — 다만 그 큰 정사각형의 한 변은 정수가 아니어서, 중3에서 √13이라고 쓰는 법을 배워요.
함께 생각하기 ①
직각을 낀 두 변이 3과 4예요. 두 작은 정사각형의 넓이는 9와 16이니까, 빗변 위 정사각형의 넓이는 25예요. 그러면 빗변의 길이는 얼마일까요? (넓이가 25인 정사각형의 한 변이에요.)
2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것
방금 본 "작은 정사각형 둘의 넓이 합 = 큰 정사각형의 넓이"를 그대로 식으로 쓰면 이렇게 돼요. 여기서 c는 언제나 빗변 — 직각의 맞은편에 있는, 가장 긴 변이에요.
a² + b² = c²직각을 낀 두 변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱
c = 빗변직각의 맞은편 · 세 변 중 가장 긴 변
🔍불변 앵커 — 빗변부터 찾아요. 직각 표시(∟)를 보고, 그 맞은편 변에 먼저 c라고 적어요. 삼각형이 어떻게 돌아가 있든 상관없어요. 빗변만 정해지면 나머지 둘은 무조건 "제곱해서 더하는 쪽"이에요.
삼각형이 돌아가 있으면 빗변이 헷갈리기 쉬워요. 그림에서 빗변이라고 생각하는 변을 눌러 보세요. 🔄 버튼으로 다른 삼각형도 만나 봐요.
어느 변이 빗변일까요? 변을 눌러 보세요.
그런데 이 식은 직각삼각형에서만 성립해요. 두 변 3, 4를 그대로 두고 그 사이의 각만 바꿔 볼게요. 90°에서만 c²이 25로 딱 맞아요.
사이의 각90°
⚠ 가장 흔한 실수 — 빗변 13과 한 변 5가 주어졌는데 13² + 5²으로 더하는 거예요. 빗변은 제일 큰 제곱이니까, 빗변을 알고 다른 변을 구할 때는 c²에서 빼요: 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → 12. 답이 빗변 13보다 작게 나와야 정상이에요.
함께 생각하기 ②
빗변이 10이고 직각을 낀 한 변이 6이에요. 나머지 한 변은 얼마일까요? (구하는 변이 빗변인가요, 아닌가요? 그러면 더할까요, 뺄까요?)
3핵심 도구 — 더하기 · 빼기 판단 + 제곱 표
세 변 중 둘을 넣으면 나머지 하나를 구해 주는 계산기예요. 빈칸 하나만 남기고 눌러 보세요. 구하는 변이 빗변 c면 더하고, 아니면 빼는 걸 눈으로 확인해요.
예: a = 5, c = 13을 넣고 b는 비워 두세요.
이제 판단 연습이에요. 그림을 보고 물음표 변이 빗변인지 먼저 보고, 더할지 뺄지 골라요. 계산은 안 해도 돼요 — 방향만 맞히면 돼요.
문제는 전부 이 제곱 표로 정리해요. 변마다 "빗변인가요?"를 먼저 적고, 제곱을 채워요. 아는 건 주황색, 구하는 건 입력칸이에요. 빗변 줄의 제곱은 나머지 두 줄의 합이에요.
📐빗변 찾기 → 제곱 표 → 빗변 줄은 합, 다른 줄은 차 → 마지막에 제곱을 풀어요. 어떤 문제든 결국 이 네 줄이에요. "빗변 제곱이 제일 크다"만 기억하면 더하기·빼기를 절대 안 틀려요.
연습을 몇 개 더 해볼까요? 매번 다른 삼각형이에요.
4유형별 완전정복
이제 진짜 문제로 가요. 5가지 유형만 알면 다 풀려요 — 그림 → 제곱 표 → 식 → 풀이 순서예요. 각 유형의 "▶ 재생"을 누르면 빗변에 표시가 들어오고 정사각형이 자라나요. 답은 확인 전까지 안 보여 줘요. 중3 예고 표시가 있는 문제는 답이 √ 모양이라 4개 중에서 고르기만 하면 돼요.
변 a변 b빗변 c
①
빗변 구하기
직각을 낀 두 변 → 제곱해서 더해요
핵심 구하는 변이 빗변이면 더해요. c² = a² + b². 답이 두 변보다 길게 나와야 정상이에요.
②
다른 한 변 구하기
빗변 + 한 변 → 빗변 제곱에서 빼요
핵심 구하는 변이 빗변이 아니면빼요. b² = c² − a². 답이 빗변보다 짧게 나와야 정상이에요. 빗변끼리 더하면 안 돼요.
③
피타고라스 수
3·4·5 · 5·12·13 · 8·15·17 · 7·24·25 와 그 배수
핵심 직각삼각형이 되는 세 정수를 피타고라스 수라고 해요. 배수(6·8·10, 9·12·15 …)도 전부 돼요. 세 변이 주어지면 가장 긴 변을 c로 놓고 a² + b² = c²인지 확인해요.
④
좌표평면 두 점 사이 거리
가로 차 · 세로 차로 직각삼각형 만들기
핵심 두 점을 잇는 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그려요. 가로 차와 세로 차가 직각을 낀 두 변이에요. 거리² = (가로 차)² + (세로 차)².
⑤
활용 — 사다리 · 대각선 · 높이
문장 속에서 직각삼각형 찾기
핵심 문장 속에서 직각삼각형을 찾고, 어느 것이 빗변인지 먼저 정해요. 사다리·대각선·직선 거리는 보통 빗변이고, 높이는 빗변이 아니에요.
5실전 총정리 — 유형 섞어서
이번엔 어떤 유형인지 안 알려드려요. 빗변이 어느 변인지 먼저 정하고, 더할지 뺄지 판단해서 풀어봐요. 틀리면 어느 유형인지 알려드릴게요. 5문제를 첫 시도에 다 맞히면 도장이 찍혀요.
6마무리 치트시트
📐 피타고라스 한 장 요약
a² + b² = c²작은 정사각형 둘의 넓이 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이 · c = 빗변(직각의 맞은편, 가장 긴 변)