중2단원 10

피타고라스 정리(Pythagorean theorem)

직각삼각형에서 두 변만 알면 나머지 한 변이 나와요. 넓이로 그 비밀을 봐요.

1이어서

직각삼각형 — 90°가 있는 삼각형

🔤이 단원의 낱말
직각直角
直은 곧다예요. 반듯하게 선 각, 곧 90° 예요.
빗변斜邊
斜는 비스듬하다예요. 직각의 맞은편에 있는 변이고, 세 변 중 언제나 가장 길어요.
밑변과 높이—
직각을 낀 두 변이에요. 이 둘을 알면 빗변이 정해져요.
피타고라스 수—
a² + b² = c² 를 만족하는 세 자연수예요. (3, 4, 5) 와 (5, 12, 13) 이 가장 유명해요.

한 각이 직각(90°)인 삼각형이에요. 직각과 마주 보는 가장 긴 변을 빗변이라 불러요. 이 단원은 빗변과 나머지 두 변 사이의 놀라운 관계에 관한 거예요.

직각삼각형에서 직각의 크기는? °
2핵심

a² + b² = c²

🤔 왜 길이 이야기인데 제곱으로 쓸까요?a² 은 한 변이 a 인 정사각형의 넓이예요. 그러니 이 정리는 사실 “작은 정사각형 두 개의 넓이를 합치면 큰 정사각형의 넓이가 된다”는 말이에요. 길이를 재는 정리가 아니라 넓이를 세는 정리인 셈이에요. 그래서 a + b = c 가 아닌 거예요 — 3 + 4 는 5 가 아니지만 9 + 16 은 25 가 맞잖아요.

직각을 낀 두 변을 a, b, 빗변을 c라 하면 a² + b² = c²예요. 각 변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이로 보면 딱 보여요 — 두 작은 정사각형의 넓이 합이 큰 정사각형의 넓이와 같아요.

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² — 작은 두 정사각형(9, 16)을 합치면 큰 정사각형(25)이 돼요.

3직접 움직여 봐요

두 변을 바꿔도 언제나 a² + b² = c²

두 변 a, b를 바꿔도 a² + b²은 늘 c²과 같아요. 빗변 c = √(a² + b²) 로 구해요.

4빗변 구하기

두 변으로 빗변 찾기

직각을 낀 두 변을 알면 빗변은 c = √(a² + b²). 유명한 조합(피타고라스 수)을 외워두면 빨라요 — (3,4,5), (6,8,10), (5,12,13).

직각을 낀 두 변이 6, 8일 때 빗변은?
5거꾸로도 참

a² + b² = c²이면 직각삼각형

🤔 왜 거꾸로도 참일까요?두 변이 a, b 인 직각삼각형을 따로 하나 그려 봐요. 그 빗변은 피타고라스 정리에 따라 c 예요. 그러면 원래 삼각형과 이 삼각형은 세 변이 모두 같으니 합동이에요. 합동이면 각도 같으니 원래 삼각형에도 90° 가 있어요. 새 성질을 가져온 게 아니라 합동 하나로 되돌린 것이에요.

정리를 거꾸로 써도 참이에요. 세 변 중 가장 긴 변을 c라 할 때 a² + b² = c²이 성립하면 그 삼각형은 직각삼각형이에요. 예를 들어 5, 12, 13은 25 + 144 = 169이라 직각삼각형이죠.

6어디에 쓰나

직사각형의 대각선, 두 점 사이 거리

직사각형의 대각선은 가로·세로를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이에요. 좌표평면에서 두 점 사이 거리도 같은 원리로 구해요.

가로 3, 세로 4인 직사각형의 대각선은?
7내 말로

이제 직접 설명할 차례예요

직각삼각형에서 두 변 a, b와 빗변 c 사이에는 가 성립해요.

a² + b² = c² — 직각을 낀 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같아요. 세 변에 그린 정사각형의 넓이로 확인돼요.

자기 말로 설명하면 돼요.

8다음

이해했으면, 손에 익힐 차례

이제 유형별 연습 문제로 피타고라스 정리를 직접 다뤄봐요.

연습 문제 풀러 가기 →
🌸 이 단원을 끝까지 해냈어요. 잘했어요!

이 단원이 어렵게 느껴지나요?
🔺 피타고라스 감 잡기 — 정사각형 세 개의 넓이 퍼즐로 이해해요

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