⭕ 원의 성질 완전정복
원 단원이 어려운 건 규칙이 많아서예요. 중심에서 내린 수직선, 접선, 원주각, 내접사각형… 그런데 사실 이 규칙들은 거의 다 한 뿌리에서 나와요. 그 뿌리부터 붙잡고, 규칙마다 움직여 보면서 확인해요.
① 반지름은 모두 같다② 중심과 현③ 접선④ 원주각⑤ 내접사각형
1모든 규칙의 뿌리 — 반지름은 다 같다
원의 성질을 외우기 전에 딱 하나만 기억해요. 중심에서 원 위의 어느 점까지나 거리가 같아요. 이게 원의 정의이고, 이 단원의 규칙들은 대부분 여기서 자라나요.
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왜 이게 뿌리인가요? 반지름 두 개를 그으면 그 삼각형은 언제나 이등변삼각형이에요. 원 문제에서 각을 구할 때 열에 아홉은 이 이등변삼각형을 찾는 일이에요.
2중심에서 현에 내린 수직선
현(원 위의 두 점을 이은 선분)에 중심에서 수직으로 선을 내리면, 그 선은 현을 정확히 반으로 나눠요. 왜 그럴까요? 반지름 두 개가 같으니 이등변삼각형이 생기고, 이등변삼각형의 꼭지각에서 내린 수선은 밑변을 이등분하기 때문이에요.
⚠ 함께 기억할 것 — 중심에서 같은 거리에 있는 두 현은 길이도 같아요. 거꾸로 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있어요. 위 슬라이더로 현을 중심에 가깝게 옮길수록 현이 길어지는 것을 확인해 봐요.
함께 생각하기 ①
반지름이 13인 원에서 중심으로부터 5만큼 떨어진 현의 길이는 얼마일까요? (피타고라스를 써요)
3접선 — 스치는 선은 반지름과 직각
원을 딱 한 점에서 스치는 직선을 접선이라고 해요. 접선의 가장 중요한 성질은 접점까지의 반지름과 수직이라는 거예요. 아래에서 직선을 움직여 원에 닿는 순간을 봐요.
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두 접선의 길이는 같아요 — 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 언제나 같아요. 이것도 뿌리에서 나와요. 반지름이 같고 빗변이 공통이라 두 직각삼각형이 합동이거든요.
함께 생각하기 ②
반지름이 6인 원의 중심에서 10 떨어진 점 P 에서 접선을 그었어요. 접점까지의 거리(접선의 길이)는 얼마일까요?
4원주각 — 어디서 봐도 같은 각
같은 호를 바라보는 각을 원주각이라 해요. 놀라운 것은 원 위 어디에서 바라보든 그 각이 똑같다는 점이에요. 그리고 그 크기는 중심에서 본 각(중심각)의 절반이에요. 점을 움직여 확인해 봐요.
⚠ 시험 단골 — 호가 반원이면 중심각이 180° 이므로 원주각은 90° 예요. 그래서 지름을 바라보는 원주각은 언제나 직각이에요. 위 슬라이더에서 호의 크기를 180 에 맞춰 확인해 봐요.
5원에 내접하는 사각형
네 꼭짓점이 모두 원 위에 있는 사각형에서는 마주 보는 두 각의 합이 180° 예요. 이것도 원주각에서 바로 나와요. 두 각이 각각 반대쪽 호의 절반이고, 두 호를 합치면 원 전체인 360° 이니까요.
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한 외각은 마주 보는 내각과 같아요 — 마주 보는 두 각의 합이 180° 이니, 한 각의 바깥쪽 각은 마주 보는 각과 크기가 같아요. 이 형태로 문제에 나올 때가 많아요.
6규칙 지도 — 어디서 나왔는지 한눈에
이제 규칙을 모아 봐요. 외울 목록이 아니라 뿌리에서 뻗어 나온 가지로 보면 훨씬 적게 기억해도 돼요.
9단원중심 → 현에 수직
현을 이등분해요. 이등변삼각형의 꼭지각에서 내린 수선이기 때문이에요.
9단원중심에서 같은 거리
두 현의 길이가 같아요. 거꾸로도 성립해요.
9단원접선 ⊥ 반지름
접점까지의 반지름과 접선은 직각을 이뤄요. 그래서 접선 문제는 대부분 직각삼각형 문제가 돼요.
9단원두 접선의 길이
원 밖 한 점에서 그은 두 접선은 길이가 같아요. 두 직각삼각형이 합동이니까요.
10단원원주각 = 중심각 ÷ 2
같은 호를 바라보는 각은 어디서 보아도 같고, 중심각의 절반이에요.
10단원지름을 보는 각 = 90°
반원의 중심각이 180° 이므로 원주각은 직각이에요.
10단원호의 길이와 원주각
호가 두 배면 그 호를 보는 원주각도 두 배예요. 정비례해요.
10단원내접사각형
마주 보는 두 각의 합이 180°. 한 외각은 마주 보는 내각과 같아요.
🧭
문제를 만나면 이 순서로 봐요 — ① 반지름을 찾아 이등변삼각형이 있는지 ② 접선이 있으면 직각 표시 ③ 같은 호를 보는 각이 있으면 원주각 ④ 네 점이 원 위에 있으면 내접사각형.
7유형별 연습 — 네 가지만 익히면 돼요
원 문제는 보기보다 유형이 적어요. 아래 네 가지를 다른 문제로 버튼으로 여러 번 풀어 보면 손에 익어요.
1현의 길이 구하기
중심에서 현까지의 거리와 반지름으로
🔑 핵심 — 중심에서 현에 수선을 내리면 직각삼각형이 생겨요. 빗변이 반지름, 한 변이 중심에서 현까지의 거리, 나머지가 현의 절반이에요.
2접선의 길이 구하기
원 밖의 점에서 그은 접선
🔑 핵심 — 접선은 반지름과 직각이에요. 중심·접점·바깥 점이 직각삼각형을 이루고, 중심까지의 거리가 빗변이에요.
3원주각과 중심각
절반 관계를 양방향으로
🔑 핵심 — 원주각 = 중심각 ÷ 2. 거꾸로 중심각을 구할 때는 원주각에 2를 곱해요. 지름을 보는 각은 90° 예요.
4내접사각형의 각
마주 보는 각의 합은 180°
🔑 핵심 — 마주 보는 두 각을 더하면 180°. 한 각의 바깥쪽 각은 마주 보는 각과 같아요.
8실전 총정리 — 유형 섞어서
이번엔 어떤 유형인지 안 알려드려요. 그림을 머릿속에 그리고 어떤 규칙을 쓸지 먼저 정한 뒤 풀어 봐요.
9마무리 치트시트
⭕ 원의 성질 한 장 요약
🌱 뿌리중심에서 원 위 어느 점까지나 거리가 같아요 → 반지름 두 개면 이등변삼각형
중심 → 현 수선현을 이등분 · 반지름² = (중심~현 거리)² + (현÷2)²
같은 거리 = 같은 길이중심에서 같은 거리인 두 현은 길이가 같아요
접선 ⊥ 반지름접선 길이² = (중심까지 거리)² − 반지름²
두 접선의 길이원 밖 한 점에서 그은 두 접선은 길이가 같아요
원주각 = 중심각 ÷ 2같은 호를 보면 어디서 보아도 같은 각 · 지름을 보면 90°
내접사각형마주 보는 각의 합 180° · 한 외각 = 마주 보는 내각
🧭 푸는 순서이등변삼각형 찾기 → 접선이면 직각 표시 → 같은 호면 원주각 → 네 점이 원 위면 내접사각형
이어서 볼 곳 — 09단원 원과 직선 · 10단원 원주각 · 09단원 연습 · 10단원 연습
피타고라스가 흔들리면 🔺 피타고라스 특강을 먼저 봐요.