원 위에서 호를 바라보는 각. 어디서 보든 크기가 같고, 중심에서 본 각의 딱 절반이에요.
중1에서 부채꼴의 중심각 ∠AOB를 배웠죠 — 중심 O에서 호 AB를 본 각이에요. 이번엔 원 위의 점 P에서 같은 호 AB를 봐요. 이 각 ∠APB가 호 AB에 대한 원주각이에요. 점 P는 호 AB 위만 아니면 원 위 어디든 될 수 있어요.
한 호에 대한 원주각 = ½ × 중심각이에요. 이유는 반지름 두 개가 만드는 이등변삼각형 — OP = OA 라서 ∠OPA = ∠OAP 이고, 삼각형의 외각은 두 내각의 합이라 중심각 쪽이 두 배가 돼요(심화 탐구에서 단계별로 봐요).
중심각 ∠AOB = 120° → 원주각 ∠APB = 60°
호 AB를 바라보는 점 P가 어디에 있든 ∠APB는 같아요. 같은 호에 대한 원주각은 모두 같다 — 중심각이 하나로 정해져 있으니 그 절반도 하나예요.
AB가 지름이면 중심각이 180° 라서 원주각은 90°예요. 지름이 보이면 직각삼각형이 숨어 있다는 뜻이에요. 반대로, 원주각이 90° 면 그 호의 현은 지름이에요.
한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각은 같고, 호의 길이는 원주각에 정비례해요(중심각에 정비례하는 부채꼴 호의 절반이니까요). 호 CD가 호 AB의 2배면 ∠CQD도 ∠APB의 2배. 주의 — 현의 길이는 비례하지 않아요.
네 꼭짓점이 모두 원 위에 있는 사각형 ABCD에서 ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°예요. ∠A와 ∠C는 호 BCD와 호 BAD를 보는 원주각인데, 두 호를 합치면 원 전체(중심각 360°) → 원주각 합 180°. 그래서 한 외각은 마주 보는 안쪽 각(내대각)과 같아요: ∠DCE = ∠A.
점 A에서의 접선 AT와 현 AB가 이루는 각 ∠BAT는, 그 각 안에 들어오는 호 AB에 대한 원주각 ∠ACB와 같아요(C는 반대쪽 호 위). 접선을 "원주각을 재는 자"로 쓸 수 있는 거예요. 접점이 A인 것과, 각 안쪽의 호가 어느 쪽인지만 확인하면 돼요.
정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
한 호에 대한 원주각은 중심각의 이고, 원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 각의 합은 예요.
절반이고, 180°예요.
호 AB에 대한 중심각은 딱 하나예요(중심이 하나니까). 원주각은 그 절반이니, 원 위 어느 점에서 보든 같은 값이 나올 수밖에 없어요.
자기 말로 설명하면 돼요. 똑같지 않아도 괜찮아요.
개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
⭕ 원의 성질 완전정복 — 원주각이 왜 중심각의 절반인지 움직여 보면서 확인해요