원을 가로지르는 직선(현)과 원에 스치는 직선(접선). 둘 다 비밀은 하나 — 반지름을 그으면 직각삼각형이 생겨요.
원 위의 두 점을 이은 선분이 현이에요(가장 긴 현이 지름). 원과 한 점에서만 만나는 직선이 접선, 그 점이 접점이에요. 그리고 기억할 것 하나 — 중심에서 현의 양 끝으로 반지름 두 개를 그으면 이등변삼각형이 생겨요(두 변이 반지름으로 같으니까요). 중2에서 배운 이등변삼각형의 성질이 이 단원의 열쇠예요.
이등변삼각형 OAB의 꼭짓점 O에서 밑변 AB에 수선을 내리면 밑변이 이등분되죠(중2). 그래서 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분해요. 거꾸로 현의 수직이등분선은 중심을 지나요. 이제 직각삼각형 하나가 생겼어요 — 빗변은 반지름, 두 변은 중심까지의 거리와 현의 절반. 피타고라스!
반지름 5, 중심에서 현까지 거리 3 → 현의 절반 = √(5² − 3²) = 4 → 현 = 8
d = 0 이면 현이 지름(길이 10), d = 5 면 현이 한 점으로 줄어들어 접선이 돼요. 중심에 가까운 현일수록 길어요. 같은 거리면 같은 길이 — 그래서 "중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다"예요.
한 원에서 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같고, 거꾸로 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있어요. 이유는 위 직각삼각형 — 빗변(반지름)이 같고 한 변이 같으면 나머지 변도 같으니까요. 거리가 짧을수록 현은 길어요.
접선이 원에 닿는 점(접점) T와 중심 O를 이으면, OT ⊥ (접선)이에요. 원 밖의 점 P에서 접선을 그으면 직각삼각형 OTP가 생기고, 직각은 T에 있어요 — 그러니 빗변은 OP. 예: OP = 10, 반지름 6 → 접선의 길이 PT = √(10² − 6²) = 8.
P에서 접선을 두 개 그을 수 있어요(접점 A, B). 삼각형 OAP와 OBP는 빗변 OP를 공유하고 OA = OB(반지름)인 직각삼각형이라 합동(RHS) → PA = PB. 그래서 접점까지의 길이를 하나만 알면 다른 하나도 알아요. 두 접선이 이루는 각이 60°면 삼각형 PAB는 정삼각형이 돼요.
삼각형 안에 꼭 맞는 원(내접원)이 세 변에 접하면, 각 꼭짓점에서 나온 두 접선의 길이가 같아요: AD = AF, BD = BE, CE = CF. 이걸로 변의 길이를 쪼개 구해요. 원에 외접하는 사각형은 네 꼭짓점에서 접선 길이 짝을 더하면 AB + CD = AD + BC — 마주 보는 변의 합이 같아요.
정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
중심에서 현에 내린 수선이 현을 이등분하는 이유는, 반지름 두 개로 만든 삼각형이 이기 때문이에요. 접선 문제에서 직각은 에 있어요.
이등변삼각형이기 때문이고, 직각은 접점에 있어요.
반지름을 그으면 현 문제에선 이등변삼각형(→ 수선이 이등분), 접선 문제에선 직각(접점) — 어느 쪽이든 직각삼각형이 생겨서 피타고라스로 길이를 구할 수 있게 돼요. 반지름이 "숨은 변"이에요.
자기 말로 설명하면 돼요. 똑같지 않아도 괜찮아요.
개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
⭕ 원의 성질 완전정복 — 중심에서 내린 수선과 접선을 한 뿌리에서 정리해요