🚪 관문 특강 · 미적분Ⅰ Ⅱ 미분 · 변화율 3부작 ③

📏 미분 = 기울기의 완성

중1에서 속력(거리가 시간에 따라 얼마나 변하나)을, 중2에서 기울기(y가 x에 따라 얼마나 변하나)를 배웠죠. 둘은 같은 것, 변화율이에요. 그런데 곡선은 어디서 재느냐에 따라 기울기가 달라요. "바로 이 순간의 기울기"를 재는 것이 미분이고, 방법은 두 점을 한없이 가깝게 붙이는 것뿐이에요. 3부작의 마지막, 같은 그림이 세 번째로 진화해요.

① 정의로 구하기 ② 도함수 계산 ③ 접선의 방정식 ④ 증감·극값

🔗 변화율 3부작 ① 속력 (중1) ✓→② 기울기 (중2) ✓→③ 미분 (지금)

1할선이 접선으로 붙는 순간 (공식 없이)

곡선 위에 점 A를 찍고, 조금 떨어진 점 B를 잡아요. 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기는 중2에서 하던 그대로 "세로 차 ÷ 가로 차"예요. 이제 $h$ 슬라이더로 B를 A에 붙여 보세요. 할선이 한 직선으로 수렴하죠. 그것이 접선이고, 그 기울기가 A에서의 미분계수예요.

$f(x)=x^3-3x$예요. $h$가 2일 때와 0.001일 때 할선 기울기가 어떻게 다른지, 그리고 접선 기울기와 얼마나 가까워지는지 보세요. $h$를 0으로 보내는 극한, 그게 정의의 전부예요. 속력 특강에서 "1시간에 12km"를 쓴 것처럼, 여기서는 "$h$ 동안 얼마나 변했나 ÷ $h$"를 쓰고 $h$를 줄여요.

함께 생각하기 ①

$f(x)=x^2$ 에서 $x=1$부터 $x=1+h$까지의 평균변화율은 $\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=2+h$ 예요. $h\to0$이면 얼마로 가나요? (= $f'(1)$)

2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것

평균변화율은 중2 기울기 그대로예요. 미분계수는 거기에 극한을 붙인 것.

평균변화율 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ → 미분계수 $f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Δ(델타)는 "변화량". h를 0으로 보내면 할선이 접선이 된다. f'(a) = x=a 에서 접선의 기울기 = 그 순간의 변화율.

점마다 미분계수를 구하면 그것 자체가 새 함수예요. 그게 도함수 $f'(x)$. 다항함수의 도함수는 규칙 하나로 나와요: 지수를 앞으로 내리고, 지수를 하나 줄인다.

$(x^n)'=nx^{n-1},\quad (c)'=0,\quad (cf)'=cf',\quad (f\pm g)'=f'\pm g',\quad (fg)'=f'g+fg'$

x² 의 도함수 2x 는 정의로 직접 계산: ((x+h)²−x²)/h = 2x+h → 2x. 곱의 미분은 "앞 미분 × 뒤 + 앞 × 뒤 미분".

접선은 "점 하나 + 기울기"로 정해지는 직선이에요(중2). 기울기가 $f'(a)$라는 것만 새로워요.

$x=a$에서의 접선: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$

접점 (a, f(a)), 기울기 f'(a). 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 미지수 t로 두고 그 점을 지나게 한다.

기울기의 부호가 곧 함수의 오르내림이에요. $f'\gt0$이면 올라가고, $f'\lt0$이면 내려가고, 오르다 내리는 꼭대기(극대)나 내리다 오르는 바닥(극소)에서는 접선이 수평, 즉 $f'=0$.

$f'(x)\gt0$ 증가 · $f'(x)\lt0$ 감소 · 극값에서 $f'(x)=0$ (부호가 + → − 극대, − → + 극소)

f'=0 인데 부호가 안 바뀌면 극값이 아니다(y=x³ 의 x=0). "부호 변화"가 조건.

함께 생각하기 ②

$f(x)=x^3-3x$ 일 때 $f'(x)=3x^2-3$. $f'(2)$의 값은? (위 위젯에서 $a=2$의 접선 기울기)

3미분 카드 — 핵심 도구

다항함수의 미분은 항마다 "지수 내리고 하나 줄이기"를 반복하는 것뿐이에요. 상수항은 사라져요(기울기 0). 버튼을 눌러 여러 식을 확인하세요.

$f(x)=x^3-3x+5$

→ 미분 →

$f'(x)=3x^2-3$

불변 앵커 미분계수 = 그 순간의 기울기 = 그 순간의 속력. 도함수는 "기울기를 알려주는 함수"이고, 계산은 항마다 지수 내리고 하나 줄이기.

미분 카드 연습이에요. 계수와 지수를 한 항씩 처리하세요.

4유형별 완전정복

네 가지 유형 모두 도함수 계산 → 대입(또는 =0)이에요. "다른 문제로"를 눌러 식이 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.

①

정의로 구하기

평균변화율 → 극한

핵심 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$를 계산하면 $h$가 약분되어 사라진다. 남은 식에 $h=0$을 넣으면 미분계수. 평균변화율은 두 점의 기울기 그대로.

②

도함수 계산

지수 내리고 하나 줄이기 · 곱의 미분

핵심 항마다 $(x^n)'=nx^{n-1}$. 곱은 $(fg)'=f'g+fg'$ — 전개해서 미분해도 답은 같다(검산용).

③

접선의 방정식

접점 + 기울기 f′(a)

핵심 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$. "기울기가 $m$인 접선"은 $f'(x)=m$을 풀어 접점부터 찾는다.

④

증감·극값

f′의 부호표

핵심 $f'(x)=0$의 해로 구간을 나누고 부호를 적는다. + → − 이면 극대, − → + 이면 극소. 극값은 $f$에 대입한 값.

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 도함수부터 구하고 풀어 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

📏 미분 한 장 요약

정의$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ = 접선 기울기 = 순간 변화율

계산$(x^n)'=nx^{n-1}$ · 상수 → 0 · $(fg)'=f'g+fg'$

접선$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

증감·극값$f'\gt0$ 증가 · $f'\lt0$ 감소 · 부호 바뀌는 $f'=0$이 극값

3부작속력(거리/시간) → 기울기(Δy/Δx) → 미분(h→0)

한 문장미분계수 = 그 순간의 기울기 = 그 순간의 속력

📌 어른이 되어도 기억할 것

미분은 "지금 얼마나 빨리 변하나". 속도계, 주가 상승률, 감염 증가 속도, 체온 변화. 세상의 모든 "속도"가 미분이에요.
극값에서 기울기는 0. 가장 높은 곳, 가장 낮은 곳을 찾는 최적화(이익 최대, 비용 최소, 최단 시간)는 전부 "$f'=0$"을 푸는 일이에요.
뉴턴과 라이프니츠가 17세기에 각자 발명했고, 이 도구 하나로 행성의 궤도부터 로켓의 연료까지 계산하게 됐어요.

💡 다음으로 이어지는 것

미분의 반대 방향, "기울기(속력)를 알 때 원래 함수(거리)를 되찾는 것"이 적분이에요. 그리고 속력의 미분은 가속도예요. 3부작의 그림이 한 번 더 진화하는 곳은 다음 특강 "적분 = 넓이 쌓기"예요.

🏠 이미 보고 있던 곳

자동차 속도계는 아주 짧은 시간의 평균 속력을 표시해요(미분의 근사). 스마트폰의 만보기는 가속도 센서(속도의 미분)를 써요. 일기 예보의 "기온이 급격히 떨어진다"는 미분계수가 큰 음수라는 뜻이에요.

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

물리·공학의 운동 방정식, 경제학의 한계비용·한계효용(미분값), 인공지능의 학습(손실 함수의 기울기를 따라 내려가는 경사하강법), 로켓의 궤도 계산. 🎓 기계·항공공학 · 경제학 · 컴퓨터공학(AI)

단원 앱으로 이어서 → 미분계수와 도함수 · 접선의 방정식 · 증가·감소와 극값

관문 특강 · 미분 = 기울기의 완성 · 미적분Ⅰ · 표준 커리큘럼 제작