고속도로 구간단속은 두 지점을 지난 시각으로 평균 속력을 계산해요(거리 ÷ 시간). 순간단속 카메라는 "그 순간"의 속력을 재죠. 그런데 순간이란 시간이 0인데, 0으로 나눌 수는 없잖아요? 카메라는 아주 짧은 두 순간의 차이를 재서 그 비율을 씁니다. 시간 간격을 한없이 줄인 평균 속력의 극한, 그것이 순간 속력이고 수학에서는 미분계수예요. 앞 단원의 극한이 여기서 "속력"이 돼요.
영국의 뉴턴은 물체의 운동(속도·가속도)을 계산하려고, 독일의 라이프니츠는 곡선의 접선을 구하려고 각자 미분을 만들었어요. 우선권을 두고 두 나라 수학자들이 수십 년 다퉜지만, 오늘날 우리가 쓰는 $\dfrac{dy}{dx}$, $\int$ 기호는 라이프니츠의 것이에요. 기호를 잘 만든 쪽이 결국 이겼다는 교훈이 있어요.
📏 미분계수 — 평균변화율의 극한
$f(x)=x^2$ 위의 점 $A(a, a^2)$와 $B(a+h,\ (a+h)^2)$를 잇는 할선의 기울기가 평균변화율이에요. $h$를 0으로 보내면 접선의 기울기, 즉 미분계수 $f'(a)$가 돼요.
$a$1
$h$1
평균변화율 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$=2a+h$
미분계수 $f'(a)=2a$
✅ 정의
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ $x=a$에서의 순간변화율 = 그 점에서의 접선의 기울기. 두 식은 $x=a+h$로 같은 것.
$f(x)=x^2+1$ 일 때 정의를 써서 $f'(2)$를 구하시오.
1$f(2+h)-f(2)=\{(2+h)^2+1\}-5=4h+h^2$.
2$\dfrac{4h+h^2}{h}=4+h$ → $h\to0$.
→ 0/0 꼴이 h 약분으로 풀린다. 앞 단원의 기술 그대로.
$f'(2)=4$
⚠️ 극한 식 읽기 요령
$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$ 처럼 모양이 다르면 정의 꼴로 맞춰요: $=2\cdot\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}=2f'(a)$. "분자의 변화 폭 ÷ 분모"가 일치해야 $f'(a)$ 하나.
✂️ 기준점이 다르면 두 조각으로 가른다
극한 식의 두 항이 서로 다른 점을 기준으로 하면, 가운데에 $f(a)$ 를 더하고 빼서 정의 꼴 두 개로 가른다. 예 1 — $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+3h)-f(a-h)}h$ $=\displaystyle\lim\frac{\{f(a+3h)-f(a)\}+\{f(a)-f(a-h)\}}h$ 앞 조각 $=3\cdot\dfrac{f(a+3h)-f(a)}{3h}\to3f'(a)$, 뒤 조각 $=\dfrac{f(a-h)-f(a)}{-h}\to f'(a)$ → 합 $\mathbf{4f'(a)}$ 예 2 — $f(1)=3,\ f'(1)=2$ 일 때 $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{3x^2-f(x)}{x-1}$ 분자를 $3(x^2-1)-\{f(x)-f(1)\}$ 로 가른다($f(1)=3$ 이라서 갈라진다). $=3\cdot2-f'(1)=6-2=\mathbf4$ 🔑 가를 실마리는 대개 "$x=a$ 에서 분자가 0 이 된다"는 점이다. 0 이 되는 이유를 만들어 주는 항을 찾아 더하고 빼면 정의 꼴이 드러난다.
🔗 미분가능과 연속 — 뾰족한 곳은 미분이 안 된다
$f(x)=|x|$는 $x=0$에서 연속이지만, 왼쪽에서 다가간 기울기는 $-1$, 오른쪽은 $1$이라 접선이 하나로 정해지지 않아요. 그래서 미분계수가 없어요. 슬라이더로 양쪽 할선을 보세요.
$h$1
✅ 정리
$f$가 $x=a$에서 미분가능하면 연속이다. 역은 성립하지 않는다 — 연속이지만 미분 불가능한 점(뾰족점)이 있다. 미분가능 ⟺ 좌미분계수 = 우미분계수.
🔑 읽는 법
미분가능은 "줌인하면 직선처럼 보인다"예요. 뾰족점은 아무리 줌인해도 뾰족해요. 끊긴 곳(불연속)은 당연히 기울기를 잴 수 없고요. 그래서 미분가능 ⊂ 연속.
$f(x)=\begin{cases}x^2 & (x\lt1)\\ ax+b & (x\ge1)\end{cases}$ 가 $x=1$에서 미분가능할 때 $a, b$는?
1먼저 연속: $1=a+b$.
→ 미분가능하려면 연속부터.
2미분계수 일치: 왼쪽 $(x^2)'=2x\to2$, 오른쪽 $a$ → $a=2$.
3$b=1-2=-1$.
$a=2,\ b=-1$ (직선 $y=2x-1$은 $x=1$에서 $y=x^2$의 접선)
✏️ 도함수와 미분법 — 점마다 기울기를 주는 함수
모든 $x$에서 미분계수를 구해 새 함수로 만든 것이 도함수 $f'(x)$예요. 다항함수는 규칙 몇 개로 바로 나와요. 카드를 눌러 확인하세요.
✅ 도함수
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 기호: $f'(x),\ y',\ \dfrac{dy}{dx},\ \dfrac{d}{dx}f(x)$ — 전부 같은 뜻.
$(fg)'\ne f'g'$. 곱의 미분은 "앞 미분 × 뒤 + 앞 × 뒤 미분". 그리고 상수의 미분은 0이지 상수가 아니에요: $(5)'=0$, $(5x)'=5$.
🔢 미분계수가 0 인 점은 몇 개까지 있나
$f'(x)=0$ 을 만족하는 $x$ 의 개수는 $f'$ 의 차수가 정한다. $f$ 가 $n$차식이면 $f'$ 은 $(n-1)$차식이므로 많아야 $n-1$ 개다. 예 — $f(x)=x^3-2x^2+x$ 이면 $f'(x)=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$ 이라 $x=\frac13,\ 1$ 로 두 개. 판별식 $16-12=4\gt0$ 이라 서로 다른 두 실근이다. | $f'$ 의 판별식 | $f'=0$ 인 $x$ | | $D\gt0$ | 두 개 | | $D=0$ | 한 개(중근) | | $D\lt0$ | 없음 | ⚠️ $f$ 가 삼차식이라고 답이 셋인 것이 아니다. 세는 것은 $f$ 의 차수가 아니라 $f'$ 의 근이다. 그리고 $f'=0$ 인 점이 곧 극값인 것도 아니다 — 그건 다음 단원에서 부호까지 보고 가른다.
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
미분계수 = 순간 변화율 = 접선 기울기. 속도계, 심박 변화, 물가 상승률 — "지금 얼마나 빨리"는 전부 미분.
미분가능 ⇒ 연속, 역은 아님. 뾰족한 곳(꺾임)은 기울기가 없다. 그래프가 매끈해야 미분이 된다.
$(x^n)'=nx^{n-1}$ 하나로 다항함수는 전부 미분된다.
💡 인사이트 — 다음 단원으로
미분계수가 기울기라는 것을 알았으니 접선의 방정식(다음 단원)은 "점 + 기울기"로 바로 써져요. 그리고 기울기의 부호가 함수의 오르내림을 알려주니 증가·감소·극값으로 이어져요. 경제학의 "한계비용"(한 개 더 만들 때 드는 비용)도 비용함수의 미분계수예요.
🏠 미분계수가 보이는 곳
🚗
속도계
위치의 미분
📈
상승률
"오늘 +3%"는 변화율
🌡️
체온 변화
오르는 속도가 중요
🏔️
경사도
도로 표지 "8%" = 기울기
🔋
충전 속도
배터리 % 의 미분
📉
한계비용
비용함수의 미분
🏭 산업과 직업
🤖
인공지능 학습은 "손실을 줄이는 방향" = 손실 함수의 기울기(미분)를 따라 내려가는 것(경사하강법). 딥러닝 프레임워크의 핵심 기능이 자동 미분. 🎓 컴퓨터공학 · 인공지능
📊
경제·경영 한계비용·한계수입·탄력성은 전부 미분계수. "한 단위 더"의 효과를 재는 언어. 🎓 경제학 · 경영학
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물리·제어 속도·가속도·전류(전하의 변화율). 자율주행의 제어기는 오차의 미분값을 본다. 🎓 기계·전기공학 · 물리학