접선의 방정식과 평균값 정리

📋 줌인하면 곡선은 직선이 된다

💥 왜 배우나

지구는 둥글지만 운동장은 평평해 보이죠. 곡선도 충분히 확대하면 직선처럼 보여요. 그 직선이 접선이고, "곡선을 그 근처에서 직선으로 바꿔 생각하는 것"이 공학과 과학이 복잡한 문제를 푸는 첫 번째 기술이에요(선형 근사). 내비게이션이 1초 뒤 위치를 예측하는 것도, 계산기가 $\sqrt{4.01}$을 구하는 것도 접선이에요. 그리고 "구간의 평균 속력과 똑같은 순간 속력이 어딘가엔 반드시 있다"는 평균값 정리가 미분 이론의 뼈대예요.

🚪 미분계수가 기울기라는 감각이 먼저라면 → 관문 특강: 미분 = 기울기의 완성 · 앞 단원 미분계수와 도함수

🎓

롤과 라그랑주 — "평행한 접선은 반드시 있다"

프랑스의 롤은 1691년 다항식에 대해 "양 끝 값이 같으면 그 사이에 기울기 0인 점이 있다"(롤의 정리)를 발표했고, 100년 뒤 라그랑주가 이를 일반화해 평균값 정리를 세웠어요. "$f'\gt0$이면 증가한다"처럼 당연해 보이는 미분의 성질들이 사실 전부 이 정리에서 나와요. 재미있게도 롤은 처음엔 미분법을 "오류투성이"라며 비판하던 사람이었어요.

✏️ 접선의 방정식 — 점 하나 + 기울기 f′(a)

곡선 $y=x^3-3x$ 위의 접점을 끌어 보세요. 접선의 식이 실시간으로 바뀌어요. 직선을 정하는 데 필요한 것은 "지나는 점"과 "기울기" 둘뿐이고, 기울기는 미분계수가 줘요.

✅ 접선의 방정식

$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$ 접점 $(a, f(a))$, 기울기 $f'(a)$. 중2의 "점과 기울기로 직선 만들기" 그대로.

곡선 $y=x^2-2x+3$ 위의 $x=2$인 점에서의 접선의 방정식은?

1접점: $f(2)=4-4+3=3$ → $(2,3)$.

2기울기: $f'(x)=2x-2$ → $f'(2)=2$.

3$y-3=2(x-2)$.

$y=2x-1$

곡선 $y=x^3$ 의 접선 중 기울기가 $12$인 것은?

1기울기 조건: $f'(x)=3x^2=12$ → $x=\pm2$. 접점이 두 개.

2$x=2$: $(2,8)$, $y-8=12(x-2)$ → $y=12x-16$. $x=-2$: $(-2,-8)$ → $y=12x+16$.

$y=12x-16$, $y=12x+16$

⚠️ 흔한 실수

"$x=2$에서의 접선"은 접점의 $y$좌표를 먼저 구해야 해요. $f(2)$를 빼먹고 $y=2x$라고 쓰는 실수가 잦아요. 그리고 기울기가 주어지면 접점은 여러 개일 수 있어요.

🎯 접한다 = 연립하면 중근이다

곡선과 직선이 접한다는 것은 연립해서 얻은 방정식이 중근을 갖는다는 뜻이다. 그래서 이차식이 되면 판별식이 0 이다.
예 — 곡선 $y=x^2-3x$ 와 직선 $y=x+k$ 가 접할 때 $k$ 는?
① 연립: $x^2-3x=x+k$ → $x^2-4x-k=0$
② 중근이므로 $D=16+4k=0$ → $k=-4$
③ 다른 길로 검산: $f'(x)=2x-3=1$ → 접점 $x=2$, $f(2)=-2$. 직선이 그 점을 지나므로 $-2=2+k$ → $k=-4$ ✓

같은 성질이 접선과 곡선이 다시 만나는 점도 알려 준다. $y=x^3$ 위의 $(1,1)$ 에서의 접선 $y=3x-2$ 를 연립하면 $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$ — 접점 $x=1$ 이 중근으로 나타나고, 남는 인수가 다시 만나는 점 $x=-2$ 를 준다.
🔑 접점은 중근, 나머지 인수는 다른 교점. 삼차곡선의 접선은 한 점에서만 만나는 것이 아니다.

🎯 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 접점을 t로 둔다

점 $(0,-1)$은 $y=x^2$ 위에 없어요. 여기서 곡선에 접선을 그으면 두 개가 나와요. 방법은 하나: 접점을 $(t, t^2)$으로 두고 접선을 쓴 뒤, 그 접선이 $(0,-1)$을 지나게 하는 것.

점 $(0,-1)$에서 곡선 $y=x^2$에 그은 접선의 방정식은?

1접점을 $(t,t^2)$으로 두면 접선은 $y-t^2=2t(x-t)$, 즉 $y=2tx-t^2$.

2$(0,-1)$을 지나므로 $-1=-t^2$ → $t=\pm1$.

→ 주어진 점을 대입해 t를 구하는 것이 핵심.

3$t=1$: $y=2x-1$, $t=-1$: $y=-2x-1$.

$y=2x-1$, $y=-2x-1$

✅ 세 가지 접선 문제, 한 가지 방법

① 접점이 주어짐 → 바로 공식. ② 기울기가 주어짐 → $f'(t)=m$으로 접점 찾기. ③ 곡선 밖의 점이 주어짐 → 접점을 $t$로 두고 그 점을 대입. 모두 "접점 찾기"가 먼저예요.

⚖️ 롤의 정리와 평균값 정리 — 평행한 접선은 반드시 있다

구간 $[a,b]$의 양 끝을 잇는 직선(할선)의 기울기는 평균변화율이에요. 곡선이 매끈하면, 그 사이 어딘가엔 이 할선과 평행한 접선이 반드시 있어요. 슬라이더로 $c$를 움직여 찾아보세요.

✅ 롤의 정리

$f$가 $[a,b]$에서 연속, $(a,b)$에서 미분가능하고 $f(a)=f(b)$이면 $f'(c)=0$인 $c$가 $(a,b)$에 존재한다. — 같은 높이로 돌아오려면 어딘가에서 수평이어야 한다.

✅ 평균값 정리

$f$가 $[a,b]$에서 연속, $(a,b)$에서 미분가능하면 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$ 인 $c$가 $(a,b)$에 존재한다. — 평균 속력과 같은 순간 속력이 어딘가엔 있다. (롤은 $f(a)=f(b)$인 특수한 경우.)

$f(x)=x^2$, 구간 $[1,3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 $c$는?

1평균변화율 $\dfrac{9-1}{3-1}=4$.

2$f'(c)=2c=4$ → $c=2$. $1\lt2\lt3$ ✓.

$c=2$

🔑 왜 중요한가

구간단속에서 평균 속력이 제한을 넘었다면, 어느 순간엔 반드시 그 속력을 냈다는 뜻이에요(그래서 단속이 정당해요). 수학에서는 "$f'\gt0$이면 증가"(다음 단원)를 증명하는 데 이 정리를 써요.

⚠️ 조건이 깨지면 결론도 깨진다 — 뾰족점

평균값 정리는 닫힌 구간에서 연속 + 열린 구간에서 미분가능을 함께 요구한다. 둘 중 하나만 빠져도 결론이 보장되지 않는다.
예 — $f(x)=|x-2|$, 구간 $[0,4]$
• $f(0)=f(4)=2$ 이므로 평균변화율은 $0$
• 그런데 $x=2$ 는 뾰족점이라 좌미분계수 $-1$, 우미분계수 $1$ 로 미분할 수 없다
• 실제로 $f'$ 은 존재하는 곳에서 $-1$ 또는 $1$ 뿐이라 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 하나도 없다
조건이 깨지니 결론도 실패한 것이지, 정리의 반례가 아니다. 정리는 조건을 만족하는 함수에 대해서만 무엇인가를 말한다.
🔑 정리를 쓰기 전에 낱말을 하나씩 확인한다 — 닫힌 구간인가, 연속인가, 열린 구간에서 미분가능한가. 절댓값·조각함수가 보이면 경계에서 미분가능한지부터 본다.

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것

접선 = 곡선의 그 자리 직선 근사. 복잡한 것을 그 근처에서 직선으로 바꿔 푸는 것이 공학의 첫 기술(선형화).
접선 문제는 접점 찾기가 먼저. 접점·기울기·바깥 점, 무엇이 주어져도 접점 $t$로 돌아간다.
평균값 정리: 평균과 같은 순간이 반드시 있다. 구간단속의 논리이자 미분 이론의 뼈대.

💡 인사이트 — 다음 단원으로

평균값 정리에서 "$f'\gt0$이면 함수는 증가한다"가 나와요(두 점 사이 평균변화율 = 어떤 $f'(c)\gt0$). 그러니 도함수의 부호만 보면 그래프의 오르내림을 알 수 있고, 그것이 다음 단원 증가·감소와 극대·극소예요.

🏠 접선이 쓰이는 곳

🧭

위치 예측

1초 뒤 = 지금 + 속도 × 1초

🧮

근삿값

$\sqrt{4.01}\approx2+\frac{0.01}{4}$

🛣️

도로 설계

곡선 구간과 직선 구간을 접선으로 잇기

🚓

구간단속

평균값 정리의 현장

🎢

롤러코스터

꼭대기에서 접선은 수평

🔭

망원경 거울

접선 방향으로 빛이 반사

🏭 산업과 직업

🛰️

항법·로봇
다음 위치를 접선(속도)으로 예측하고 센서로 보정한다(칼만 필터의 기본). 로봇 팔의 경로 계획도 접선 조건.
🎓 항공우주 · 로봇공학

🎨

디자인·CAD
글꼴과 자동차 곡면은 곡선 조각을 접선이 이어지도록(매끈하게) 붙인 것. 베지어 곡선의 조절점이 접선 방향.
🎓 산업디자인 · 기계공학

📈

수치해석·금융
뉴턴법(접선으로 근 찾기), 옵션의 델타(가격 곡선의 접선 기울기).
🎓 응용수학 · 금융공학

🔥 접선·평균값 정리 퀴즈

문제 1 / 10점수 0 / 10

✅ 정리

항목	내용
접선	$y-f(a)=f'(a)(x-a)$ — 접점 먼저, 기울기는 $f'(a)$
기울기 주어짐	$f'(t)=m$ 풀어 접점 (여러 개 가능)
곡선 밖 점	접점 $(t,f(t))$로 접선을 쓰고 그 점을 대입해 $t$
롤의 정리	$f(a)=f(b)$ → $f'(c)=0$인 $c$ 존재
평균값 정리	$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c$ 존재 (연속·미분가능)

🔑 한 줄 요약

접선은 "접점 + $f'(a)$". 무엇이 주어져도 접점을 $t$로 두고 시작하고, 평균과 같은 순간(평행한 접선)은 반드시 있다.

자가 점검

곡선 위의 점에서 접선의 방정식을 쓸 수 있다

기울기가 주어진 접선의 접점을 찾을 수 있다

곡선 밖의 점에서 그은 접선을 접점 $t$로 구할 수 있다

롤·평균값 정리의 조건과 결론을 말하고 $c$를 구할 수 있다

약점 태그

미적Ⅰ:접선의 방정식미적Ⅰ:곡선 밖 접선미적Ⅰ:롤의 정리미적Ⅰ:평균값 정리

➡️ 다음 단원

기울기의 부호로 그래프를 읽자 → 증가·감소와 극대·극소. 미적분Ⅰ 허브로.

✏️ 접선의 방정식과 평균값 정리