내일 기온 그래프를 그리지 않아도 "새벽까지 내려가다 오후 2시에 최고, 이후 하강"이라는 예보만 있으면 하루의 모양을 알죠. 도함수 $f'$가 바로 그 예보예요. $f'$의 부호가 $+$인 구간에서 함수는 오르고, $-$인 구간에서 내려요. 부호가 바뀌는 순간이 꼭대기(극대)와 바닥(극소)이고요. 그래서 복잡한 함수도 $f'$의 부호표 하나로 그래프의 모양이 다 나와요. 최고 이익, 최소 비용, 최단 시간을 찾는 모든 문제가 이 표에서 시작해요.
변호사이자 아마추어 수학자였던 페르마는 뉴턴이 태어나기도 전에 "최대·최소가 되는 점에서는 아주 조금 움직여도 값이 거의 안 변한다"는 생각으로 극값을 찾는 방법을 만들었어요. 접선이 수평이라는 뜻이고, 오늘날 "$f'(a)=0$"과 같은 내용이에요. 뉴턴은 훗날 "페르마의 접선법에서 힌트를 얻었다"고 적었어요.
⛰️ 증가·감소 — 기울기의 부호
$f(x)=x^3-3x$ 위에서 점을 움직여 보세요. 접선 기울기 $f'(x)$의 부호가 $+$일 때 그래프는 오르고, $-$일 때 내려요. 아래 띠가 $f'$의 부호예요.
$x$0.5
✅ 정리
어떤 구간에서 $f'(x)\gt0$이면 $f$는 그 구간에서 증가, $f'(x)\lt0$이면 감소한다. (근거: 평균값 정리 — 두 점 사이의 평균변화율이 어떤 $f'(c)$와 같으므로 부호가 따라온다.)
🔑 읽는 법
증가·감소를 판정하려면 $f$가 아니라 $f'$를 본다. $f'=0$이 되는 점으로 수직선을 나누고, 구간마다 $f'$의 부호를 하나만 확인하면 돼요(다항함수의 $f'$는 연속이라 구간 안에서 부호가 바뀌지 않아요).
어떤 구간에서 계속 증가하려면 $f'\ge0$ 이면 충분하다. $f'\gt0$ 까지는 필요 없다 — 한 점에서만 0 이 되는 것은 그 자리에서 잠시 평평할 뿐 오르내림을 바꾸지 않는다. 예 — $f(x)=x^3+3x^2+ax+1$ 이 실수 전체에서 증가할 조건은? $f'(x)=3x^2+6x+a\ge0$ 이 모든 $x$ 에서 성립해야 하므로 아래로 볼록한 이 이차식의 판별식이 $D/4=9-3a\le0$, 즉 $a\ge3$. 최솟값은 3. $a=3$ 이면 $f'(x)=3(x+1)^2$ 로 $x=-1$ 에서만 0 이고 나머지는 양수라 실제로 계속 증가한다. ⚠️ $f'\gt0$ 으로 두면 $a\gt3$ 이 되어 "최솟값이 없다"는 잘못된 결론에 이른다. 등호를 넣을지 뺄지는 한 점에서 0 이 되어도 되는가로 판단한다.
🔺 극대·극소 — 부호가 바뀌는 곳
$f'(x)=3(x-p)(x-q)$인 삼차함수예요. $p, q$를 움직이며 부호표와 그래프가 함께 바뀌는 것을 보세요. $+\to-$인 곳이 극대, $-\to+$인 곳이 극소예요.
$p$−1
$q$ ($q\gt p$)1
✅ 극대·극소
$x=a$ 근처에서 $f(a)$가 가장 크면 극대(값을 극댓값), 가장 작으면 극소. 미분가능한 함수가 $x=a$에서 극값을 가지면 $f'(a)=0$. 역은 성립하지 않는다: $f'(a)=0$이어도 부호가 안 바뀌면 극값이 아니다($y=x^3$의 $x=0$).
"극값 = 최댓값"이 아니에요. 극대는 근처에서 가장 큰 것. 삼차함수는 극댓값보다 큰 값이 저 멀리에 얼마든지 있어요. 구간이 제한된 최댓값은 극값과 양 끝값을 모두 비교해야 해요.
🔁 인수가 몇 번 곱해졌나 — 부호가 바뀌는 자리
$f'$ 을 인수분해했을 때, 각 인수가 몇 번 곱해졌는지가 그 자리에서 부호가 바뀌는지를 정한다. • 홀수 번(1번·3번…) → 그 자리에서 부호가 바뀐다 → 극값 • 짝수 번(2번·4번…) → 늘 0 이상이라 부호가 안 바뀐다 → 극값 아님 예 — $f'(x)=(x+1)(x-2)^2$ $(x-2)^2\ge0$ 이므로 부호는 $(x+1)$ 이 정한다. $x=-1$ 에서만 $-\to+$ 로 바뀌어 극소이고, $x=2$ 는 $f'=0$ 이지만 극값이 아니다(잠시 평평할 뿐). 확인 — $f'(1.9)=2.9\times0.01\gt0$, $f'(2.1)=3.1\times0.01\gt0$ 으로 양쪽이 같은 부호. 🔑 $y=x^3$ 이 $x=0$ 에서 극값이 없는 것도 같은 이유다($f'=3x^2$, 짝수 번). $f'=0$ 의 해를 다 극값으로 세는 것이 이 유형의 실점 지점이다.
📈 그래프의 개형 — 증감표 한 장이면 그려진다
$f(x)=x^3+ax^2+bx$의 계수를 움직여 보세요. 극값이 두 개일 때와 없을 때가 있어요. 그 갈림길은 $f'(x)=3x^2+2ax+b$의 판별식이에요.
$a$0
$b$−3
✅ 개형 그리는 순서
① $f'$ 구하기 → ② $f'=0$의 해 → ③ 증감표(구간별 $f'$ 부호, $f$의 ↗↘, 극값) → ④ $y$절편·필요하면 $x$절편 → ⑤ 그린다.
$x$
…
$1$
…
$3$
…
$f'(x)$
+
0
−
0
+
$f(x)$
↗
4 (극대)
↘
0 (극소)
↗
위 표는 $f(x)=x^3-6x^2+9x$의 증감표. 표만 있으면 그래프가 그려져요.
🔑 삼차함수의 극값 개수
$f'(x)=0$이 서로 다른 두 실근 → 극값 2개(극대 1, 극소 1). 중근이거나 실근이 없으면 → 극값 없음(한 방향으로만 증가 또는 감소). 즉 $f'$의 판별식 $D\gt0$ ⟺ 극값이 있다.
$f(x)=x^3+ax^2+3x$ 가 극값을 갖지 않도록 하는 $a$의 범위는?
1$f'(x)=3x^2+2ax+3$. 극값 없음 ⟺ $f'=0$이 서로 다른 두 실근을 갖지 않음 ⟺ $D/4=a^2-9\le0$.
$-3\le a\le3$
🎯 삼차함수가 x축과 몇 점에서 만나는가
삼차함수의 그래프와 $x$축의 교점 개수는 극댓값과 극솟값의 부호가 정한다.
(극댓값)×(극솟값)
교점
음수
서로 다른 세 점
0
두 점(한 곳에서 접한다)
양수
한 점
극값이 없으면(계속 증가·감소) 언제나 한 점이다. 예 — $f(x)=x^3+3x^2-9x+k$ 가 $x$축과 세 점에서 만날 조건은? ① $f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$ 이므로 극댓값 $f(-3)=27+k$, 극솟값 $f(1)=k-5$ ② $(27+k)(k-5)\lt0$ → $-27\lt k\lt5$ ⚠️ 등호가 들어가면 극값 하나가 $0$ 이 되어 접하므로 교점이 두 개다. 그리고 정수의 개수는 "끝 − 처음 + 1" 이다.
📐 사차함수도 방법은 같다 — 극값이 셋일 수 있다
삼차와 다른 점은 $f'$ 이 삼차식이라 $f'=0$ 의 해가 최대 셋이라는 것뿐이다. 순서는 그대로 — $f'$ 구하기 → 인수분해 → 부호표 → 증감. 예 1 — $f(x)=x^4-4x^3$ $f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$ → $x=0$(짝수 번, 부호 안 바뀜) · $x=3$(부호 $-\to+$, 극소). 극솟값 $f(3)=81-108=-27$. 극값은 하나뿐이다. 예 2 — $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$ $f'(x)=12x(x-2)(x+1)$ → $x=-1$(극소, $-5$) · $x=0$(극대, $0$) · $x=2$(극소, $-32$). 이때는 극값이 셋이고 그래프가 W 모양이다. 🔑 극값이 셋이면 가로선과의 교점이 최대 네 개다. 몇 번 만나는지 셀 때는 극값을 높이 순으로 늘어놓고 가로선을 올려 가며 센다.
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
오르는지 내리는지는 변화율의 부호가 말해 준다. 매출 자체가 아니라 매출 증가율을 보는 이유.
꼭대기와 바닥에서는 기울기가 0. 최적화(최대 이익·최소 비용)는 $f'=0$을 푸는 일에서 시작한다.
$f'=0$이라고 다 극값은 아니다. 부호가 바뀌어야 한다. 정체 구간(변곡)을 고점으로 착각하지 말 것.
💡 인사이트 — 다음 단원으로
그래프를 그릴 수 있으면 "방정식 $f(x)=k$의 실근이 몇 개인가"는 그래프와 가로선의 교점 개수로 읽혀요. 부등식 $f(x)\ge0$은 최솟값이 0 이상인지로. 그리고 위치 $\to$ 속도 $\to$ 가속도는 미분을 두 번 하는 것. 다음 단원 도함수의 활용이에요.
🏠 극값이 보이는 곳
🌡️
하루 기온
오후 2시경 극대
📈
주가 고점
상승률이 0이 되는 순간
🚀
최고 높이
속도가 0이 되는 순간
📦
상자 부피
접는 길이의 최적값
💊
약효 최고점
혈중 농도의 극대
🎢
롤러코스터
꼭대기에서 수평
🏭 산업과 직업
💼
경영·경제 이익 = 수입 − 비용의 극대점 찾기. 한계수입 = 한계비용($f'=0$)이 경제학의 기본 원리. 🎓 경영학 · 경제학
🤖
인공지능 학습은 손실 함수의 극소점을 찾아 내려가는 것. 극소가 여러 개인 지형에서 좋은 바닥을 찾는 것이 연구 주제. 🎓 컴퓨터공학
🏗️
설계·제조 재료 최소·강도 최대·에너지 최소의 형상 설계는 극값 문제. 🎓 기계·산업공학
🔥 증가·감소·극값 퀴즈
문제 1 / 10점수 0 / 10
✅ 정리
항목
내용
증가·감소
$f'\gt0$ 증가 · $f'\lt0$ 감소 (평균값 정리가 근거)
극값
극값이면 $f'=0$ · 역 ✗ · 부호 $+\to-$ 극대, $-\to+$ 극소
증감표
$f'=0$의 해로 구간 나누기 → 부호 → ↗↘ → 극값
삼차 극값 개수
$f'$의 $D\gt0$ ⟺ 극값 2개 · $D\le0$ ⟺ 없음
최대·최소
닫힌 구간: 극값과 양 끝값 비교
🔑 한 줄 요약
$f$가 아니라 $f'$의 부호를 본다. 부호가 바뀌는 곳이 극값이고, 증감표가 곧 그래프다.