$x^3-3x=k$의 해가 몇 개인지 알고 싶어요. 삼차방정식을 푸는 공식은 고등학교에서 배우지 않죠. 그런데 $y=x^3-3x$의 그래프를 그려 놓고 가로선 $y=k$를 위아래로 움직이면, 교점의 개수가 곧 해의 개수예요. 풀지 않고 아는 거예요. 그리고 하늘로 던진 공은 "속도가 0이 되는 순간" 가장 높아요. 위치를 미분하면 속도, 한 번 더 하면 가속도. 갈릴레이가 피사에서 재던 것을 미분 두 번으로 읽는 단원이에요.
갈릴레이는 경사면에 공을 굴리며 "이동 거리는 시간의 제곱에 비례한다"($s=\frac12gt^2$)를 알아냈어요. 미분이 없던 시대라 속도가 시간에 비례한다는 것까지만 밝혔지만, 오늘 우리는 $s$를 미분해 $v=gt$, 한 번 더 미분해 $a=g$를 바로 얻어요. 뉴턴의 운동 법칙 $F=ma$의 $a$가 바로 이 두 번째 미분이에요.
🔢 방정식의 실근의 개수 — 교점 세기
$y=x^3-3x$의 그래프와 가로선 $y=k$. $k$를 움직이면 교점이 3개, 2개, 1개로 바뀌어요. 방정식 $x^3-3x=k$의 서로 다른 실근의 개수가 그거예요. 갈림길은 극값이에요.
$x^3-3x-k=0$처럼 미지의 상수가 있으면 "$f(x)=k$" 꼴로 상수를 한쪽으로 분리해요. 그러면 $f$의 그래프는 하나로 고정되고 가로선만 움직여서 셀 수 있어요.
⚠️ 실근이 "몇 개"인가만 묻는다
실근의 값을 구하는 것이 아니에요. 극값의 값과 $k$를 비교하는 것으로 끝. 근이 양수인지 음수인지를 물으면 $y$절편·극값의 위치까지 그래프에서 읽어요.
🪜 극값이 셋이면 교점이 넷까지 — 사차함수
사차함수도 방법은 같다. 다만 극값이 셋일 수 있어 가로선과의 교점이 최대 네 개다. 극값을 높이 순으로 늘어놓고 가로선을 올려 가며 센다. 예 — $3x^4-4x^3-12x^2=k$ 가 서로 다른 네 실근을 가질 조건은? ① $f'(x)=12x(x-2)(x+1)$ → 극값은 $f(-1)=-5$(극소) · $f(0)=0$(극대) · $f(2)=-32$(극소) ② 높이 순으로 $-32\lt-5\lt0$. 가로선이 두 극솟값 중 큰 것($-5$)과 극댓값($0$) 사이에 있어야 네 곳에서 만난다 ③ $-5\lt k\lt0$ 가로선을 더 내리면($-32\lt k\lt-5$) 교점이 둘, 더 올리면($k\gt0$) 둘, 극값과 같으면 접하면서 개수가 바뀐다. 🔑 삼차든 사차든 극값의 높이와 가로선을 비교하는 것이 전부다. 운동(속도·가속도) 문제는 🚗 탭으로.
⚖️ 부등식의 증명 — 최솟값이 0 이상이면 끝
"$x\ge0$인 모든 $x$에 대해 $f(x)\ge0$"을 보이려면, 그 범위에서 $f$의 최솟값이 0 이상임을 보이면 돼요. 최솟값은 극값과 끝값 중에 있어요.
부등식을 판정할 때 최솟값 후보는 구간 안의 극값과 양 끝값이다. 극값이 구간 밖에 있으면 끝값이 최소가 된다. 예 — $x\ge5$ 인 모든 $x$ 에서 $x^3-9x^2+15x+a\ge0$ 이 성립할 $a$ 의 최솟값은? ① $f'(x)=3x^2-18x+15=3(x-1)(x-5)$ → 극값 후보는 $x=1,5$ ② $x\ge5$ 에서 $f'\ge0$ 이므로 이 구간에서는 계속 증가한다 → 최솟값은 왼쪽 끝 $f(5)$ ③ $f(5)=125-225+75+a=a-25\ge0$ → $a\ge25$, 최솟값 25 확인 — $a=25$ 이면 $f(5)=0$, $f(6)=216-324+90+25=7\gt0$. ⚠️ 극값을 구했다고 그 값이 곧 최솟값인 것이 아니다. 구간 안에 있는지 먼저 확인하고, 밖이면 $f'$ 의 부호로 어느 끝이 최소인지 정한다.
🚗 속도와 가속도 — 위치를 두 번 미분
수직선 위를 움직이는 점의 위치가 $x(t)=t^3-6t^2+9t$예요. 시간 $t$를 움직이며 점이 어디 있고, 어느 방향으로, 얼마나 빨리 가는지 보세요. 속도가 0이 되는 순간 방향이 바뀌어요.
$t$0.5
위치 $x$
속도 $v=x'$
가속도 $a=v'$
방향
✅ 정의
위치 $x(t)$ → 속도 $v(t)=x'(t)$ → 가속도 $a(t)=v'(t)=x''(t)$. 속력은 $|v|$. $v=0$이면 순간 정지(방향 전환 후보), $v$와 $a$의 부호가 같으면 속력 증가, 다르면 감소.
$x(t)=t^3-6t^2+9t$ 일 때, 점이 운동 방향을 바꾸는 시각과 $t=3$에서의 가속도는?
1$v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$ → $v=0$: $t=1,3$. 앞뒤로 부호가 바뀌므로 둘 다 방향 전환.
2$a(t)=6t-12$ → $a(3)=6$.
방향 전환 $t=1, 3$ · $a(3)=6$
지면에서 위로 던진 물체의 높이가 $h(t)=30t-5t^2$ (m) 일 때 최고 높이는?
1$v(t)=30-10t=0$ → $t=3$ (최고점에서 속도 0).
2$h(3)=90-45=45$.
$45$ m (가속도 $-10$ m/s², 즉 중력)
⚠️ 속도 0 ≠ 정지해 있다
$v=0$은 "그 순간" 멈춘 것. 던진 공은 최고점에서 속도가 0이지만 가속도는 $-10$이라 바로 떨어져요. 그리고 "속력이 커진다"는 $|v|$가 커진다는 뜻으로, $v\lt0$이면서 $a\lt0$이면 속력은 커져요.
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
방정식의 해 개수 = 그래프의 교점 개수. 풀 수 없는 방정식도 그래프로는 "몇 개"를 안다.
부등식 증명은 최솟값 찾기. "항상 ≥0"은 "가장 작을 때도 ≥0".
위치 → 속도 → 가속도, 미분 두 번. 속도계와 가속도 센서가 그 둘이고, 뉴턴의 $F=ma$가 그 끝에 있다.
💡 인사이트 — 다음 단원으로
속도를 알 때 위치로 돌아가는 것, 즉 미분의 반대가 적분이에요. 속도 그래프 아래의 넓이가 이동 거리라는 것을 다음 단원에서 확인해요. 변화율 3부작(속력 → 기울기 → 미분)이 "쌓기"로 마무리되는 곳이에요.
🏠 미분 두 번이 보이는 곳
🚀
로켓
최고점 = 속도 0
🚗
브레이크
v>0, a<0 → 속력 감소
📱
만보기
가속도 센서로 걸음 감지
🎢
놀이기구
가속도가 스릴의 정체
📈
"증가세 둔화"
v>0, a<0 (늘지만 느리게)
🛗
엘리베이터
출발·정지 때만 느끼는 가속도
🏭 산업과 직업
🛰️
항공우주·자동차 궤도·주행 제어는 위치·속도·가속도를 매 순간 계산한다. 자율주행의 "부드러운 정지"는 가속도 제어. 🎓 항공우주 · 기계공학
🏭
공정·품질 "조건을 만족하는 설계값이 존재하는가"(실근 존재), "어떤 값에서도 안전한가"(부등식 증명)는 설계 검증의 언어. 🎓 산업공학 · 안전공학
🎮
게임 물리 캐릭터 점프는 $h(t)=v_0t-\frac12gt^2$ 그대로. 프레임마다 속도에 가속도를 더한다. 🎓 컴퓨터공학 · 게임공학
🔥 도함수의 활용 퀴즈
문제 1 / 10점수 0 / 10
✅ 정리
항목
내용
실근의 개수
$f(x)=k$ → $y=f(x)$와 $y=k$의 교점 개수 · 상수 분리 · 극값과 비교