속도계만 보고 얼마나 갔는지 알 수 있을까요? 속도가 시시각각 변해도 답은 있어요. "속도 × 아주 짧은 시간"을 전부 더하면 되니까요. 그 더하기가 적분이고, 그래프로 보면 속도 곡선 아래의 넓이예요. 그런데 이 넓이를 잘게 쪼개 더하지 않고도 한 줄로 구하는 방법이 있어요. 미분을 거꾸로 하면 돼요. "미분의 반대가 넓이"라는 이 연결이 미적분학의 기본정리이고, 뉴턴과 라이프니츠가 발견한 가장 큰 비밀이에요.
적분 기호 $\int$은 라틴어 summa(합)의 첫 글자 S를 길게 늘인 것이에요. 라이프니츠가 1675년 무렵 만들었고, $dx$ 표기도 그의 작품이에요. 그는 뉴턴과 독립적으로 미적분을 만들었는데, 기호를 잘 만든 덕에 오늘날 우리가 쓰는 표기는 대부분 라이프니츠 쪽이에요. 좋은 기호는 생각을 대신 해 준다는 것을 그가 보여줬어요.
🔁 부정적분 — 미분하면 그것이 되는 함수 "가족"
미분해서 $2x$가 되는 함수는? $x^2$이요. 그런데 $x^2+1$도, $x^2-5$도 미분하면 $2x$예요. 상수는 미분하면 사라지니까요. 슬라이더로 $C$를 바꿔 보세요. 곡선은 위아래로 움직이지만 기울기는 어디서나 똑같아요.
$C$0
✅ 정의와 공식
$F'(x)=f(x)$이면 $F(x)$를 $f(x)$의 부정적분이라 하고 $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$로 쓴다. $\displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n$은 0 이상의 정수), $\displaystyle\int k\,dx=kx+C$. 더하기·빼기·상수배는 따로따로 적분해도 된다.
$\displaystyle\int(3x^2-2x+1)\,dx$ 를 구하시오.
1항마다 "차수 하나 올리고 그 수로 나눈다": $3x^2\to x^3$, $-2x\to -x^2$, $1\to x$.
→ 거꾸로 미분해 보면 $3x^2-2x+1$이 나오는지 확인.
$x^3-x^2+x+C$
$F'(x)=6x^2-2$ 이고 $F(1)=3$ 일 때 $F(x)$는?
1$F(x)=\displaystyle\int(6x^2-2)\,dx=2x^3-2x+C$.
2$F(1)=2-2+C=3$ → $C=3$.
→ 조건 하나가 있으면 가족 중 한 명이 정해진다.
$F(x)=2x^3-2x+3$
⚠️ $+C$ 를 빼먹지 않기
부정적분은 함수 하나가 아니라 상수만 다른 가족 전체예요. $C$가 빠지면 답이 아니라 그중 한 명만 쓴 거예요. 반대로 정적분에는 $C$가 없어요(다음 탭에서 왜인지 봐요).
📈 "접선의 기울기가 주어졌다" = f′ 이 주어졌다
문제가 곡선 위의 점 $(x,\,y)$ 에서의 접선의 기울기를 알려 주면, 그것이 곧 $f'(x)$ 다. 따라서 적분해야 $f$ 가 나온다. 예 — 곡선 $y=f(x)$ 위의 점에서의 접선의 기울기가 $3x^2+2x$ 이고 이 곡선이 점 $(1,\,5)$ 를 지날 때 $f(x)$ 는? ① $f'(x)=3x^2+2x$ 이므로 $f(x)=\int(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$ ② 지나는 점을 넣어 $1+1+C=5$ → $C=3$ ③ $f(x)=x^3+x^2+3$ 확인 — $f(1)=1+1+3=5$ ✓, 미분해 보면 $3x^2+2x$ 로 되돌아온다 ✓ 🔑 미분 단원에서는 $f$ 를 주고 기울기를 물었다. 적분 단원에서는 기울기를 주고 $f$ 를 묻는다 — 방향이 반대다. "지나는 점"은 $C$ 를 정하는 데 쓴다.
📐 정적분 — 넓이를 한 줄로: $F(b)-F(a)$
$f(x)=x^2-1$의 그래프와 $x$축 사이, $x=a$부터 $x=b$까지. 잘게 쪼개 더한 넓이가 놀랍게도 부정적분 $F$의 두 값의 차와 같아요. $a$, $b$를 움직여 보세요. $x$축 아래 부분은 음수로 세는 것도 보세요.
$a$0
$b$2
위쪽 = 양수아래쪽 = 음수
✅ 미적분학의 기본정리
$f$의 한 부정적분을 $F$라 하면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$. 그리고 $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$: 넓이를 $x$로 미분하면 원래 함수가 나온다.
$\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x)\,dx$ 를 구하시오.
1부정적분 $F(x)=x^3-x^2$ (여기서는 $C$를 0으로).
2$F(2)-F(0)=(8-4)-0$.
→ $C$를 어떤 값으로 두든 $F(b)-F(a)$에서 서로 빼져 사라진다. 그래서 정적분에는 $C$가 없다.
$4$
🔑 정적분은 "부호 있는 넓이"
그래프가 $x$축 위면 양수, 아래면 음수로 더해요. 그래서 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,dx=-\tfrac43$처럼 음수가 나올 수 있어요. 진짜 넓이(도형의 넓이)를 물으면 아래 부분은 부호를 바꿔 더해야 해요(다음 단원).
⚠️ 위끝에서 아래끝을 뺀다
$F(b)-F(a)$이지 $F(a)-F(b)$가 아니에요. 순서를 바꾸면 부호가 뒤집혀요: $\displaystyle\int_b^a f\,dx=-\int_a^b f\,dx$. 위젯에서 $a$를 $b$보다 크게 놓으면 값의 부호가 뒤집히는 것을 확인하세요.
$\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$는 "위끝을 변수로 둔" 정적분이에요. 두 가지만 기억해요: 미분하면 $f(x)$, $x=a$를 넣으면 0. 그리고 $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$처럼 양 끝이 숫자면 그건 함수가 아니라 그냥 상수예요.
$\displaystyle f(x)=3x^2+2\int_0^1 f(t)\,dt$ 를 만족하는 $f(x)$는?
$\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt=x^3-ax$ 일 때 상수 $a$와 $f(x)$는?
1$x=1$ 대입: 왼쪽은 0 → $1-a=0$ → $a=1$.
2양변을 $x$로 미분: $f(x)=3x^2-1$.
$a=1$, $f(x)=3x^2-1$
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
적분은 미분의 반대. 변화율(속도)에서 누적량(거리)으로 돌아가는 계산이다.
넓이 = F(b) − F(a). 잘게 쪼개 더하는 대신, 거꾸로 미분한 함수의 끝값 차이 하나로 끝난다. 이것이 미적분학의 기본정리.
정적분은 부호 있는 넓이. 축 아래는 음수. "누적"에는 빼기도 들어간다.
💡 인사이트 — 누적의 언어
세상의 많은 양이 "변화율의 누적"이에요. 강수량은 강우 강도의 적분, 배터리 잔량은 전류의 적분, 총 지출은 소비 속도의 적분. 변화율 그래프만 있으면 누적량은 언제나 그 아래 넓이예요. 반대로 누적량 그래프의 기울기가 변화율이고요. 미분과 적분은 같은 현상을 양쪽에서 보는 한 쌍이에요.
🏠 넓이 = 누적이 보이는 곳
🚗
주행 거리
속도 그래프 아래 넓이
🔋
배터리
전류를 시간으로 적분 = 충전량
🌧️
강수량
강우 강도의 누적
💡
전기 요금
전력(kW) × 시간 누적 = kWh
🛁
욕조 물
수도꼭지 유량의 적분 = 수위
📉
순 변화
들어온 양 − 나간 양 = 부호 있는 넓이
🏭 산업과 직업
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신호·데이터 센서 값을 시간에 대해 누적하면 위치·에너지·사용량이 된다. 스마트워치의 거리·칼로리가 전부 적분값. 🎓 전자공학 · 데이터과학
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토목·건축 단면의 넓이를 길이 방향으로 쌓으면 부피·물량. 댐의 수압, 보의 하중 계산이 적분으로 시작한다. 🎓 토목공학 · 건축공학
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금융·보험 현금 흐름의 누적, 확률 분포 아래의 넓이(확률)가 모두 적분. 확률과 통계에서 다시 만난다. 🎓 경제학 · 보험계리