🚪 관문 특강 · 미적분Ⅰ Ⅲ 적분

🧱 적분 = 넓이 쌓기

곡선 아래 넓이를 재는 가장 정직한 방법은 직사각형으로 채우고, 더 가늘게, 더 가늘게 자르는 거예요. 그리고 교과서가 가장 못 가르치는 질문, "미분의 반대가 왜 넓이인가?"를 여기서 그림으로 풀어요. 넓이가 자라는 속도가 곡선의 높이라는 것, 그 한 문장이 미적분의 기본정리예요.

① 부정적분 ② 정적분 계산 ③ 넓이 ④ 속도 → 거리

1직사각형을 늘리면 넓이가 모인다 (공식 없이)

$y=x^2$ 아래, $0$부터 $2$까지의 넓이를 재고 싶어요. 직사각형 $n$개로 채워 보세요. $n$을 늘릴수록 넓이가 어떤 값으로 모이나요? 그다음 "면적함수" 버튼을 눌러, 오른쪽 끝 $x$를 움직이며 넓이가 어떤 속도로 자라는지 보세요.

면적함수 모드에서 $x$를 조금 늘리면 넓이는 높이 × 조금만큼 늘어요. 즉 넓이의 변화율(미분)이 바로 곡선의 높이 $f(x)$예요. 그래서 "넓이를 구하려면 미분해서 $f$가 되는 함수를 찾으면 된다". 이것이 미분과 적분을 잇는 다리예요.

함께 생각하기 ①

직사각형을 무한히 늘리면 $y=x^2$ 아래 $0$부터 $2$까지의 넓이는 얼마로 모이나요? (분수는 8/3 처럼)

2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것

먼저 부정적분. "미분하면 $f$가 되는 함수"를 $f$의 부정적분이라 하고 $\int f(x)dx$로 써요. 미분하면 상수는 사라지니까, 거꾸로 갈 때는 상수 $C$가 어떤 값이든 될 수 있어요.

$\displaystyle\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ (미분의 반대: 지수 하나 올리고, 그 수로 나눈다)

검산은 미분: (x³/3)' = x². 상수 C는 "위아래로 평행한 곡선 가족" 전부.

정적분은 넓이예요(교과서 정의: $y=f(x)$의 그래프와 $x$축, $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 부분의 넓이에 부호를 붙인 것). 그래프가 $x$축 아래면 음수로 세요.

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ = $a$부터 $b$까지 그래프 아래의 부호 있는 넓이

위는 +, 아래는 −. 그래서 정적분이 0이어도 "넓이"는 0이 아닐 수 있다.

이제 핵심. 왜 넓이를 부정적분으로 계산할 수 있나? 위젯에서 봤듯이 면적함수 $S(x)$의 변화율이 $f(x)$예요. 그러니까 $S$는 $f$의 부정적분 중 하나이고, $S(a)=0$이라는 조건으로 상수가 정해져요.

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ ($F'=f$) — 미적분의 기본정리

"부정적분을 구해 두 끝값을 빼면 넓이". C는 빼는 과정에서 사라진다.

정적분의 성질도 넓이로 읽혀요. 구간을 이어 붙이면 넓이도 더해지고, 위아래 뒤집으면 부호가 바뀌어요.

$\int_a^b+\int_b^c=\int_a^c,\quad \int_a^a=0,\quad \int_b^a=-\int_a^b,\quad \int(kf\pm g)=k\int f\pm\int g$

넓이 문제는 "위 − 아래": 곡선이 x축 아래면 −f 를, 두 곡선 사이면 (위 곡선 − 아래 곡선)을 적분한다.

마지막으로 속도. 속도 그래프 아래 넓이가 이동한 거리예요(속력 × 시간을 가늘게 쌓은 것). 3부작의 속력 그림이 여기서 넓이로 돌아와요.

위치 변화 $=\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$, 이동 거리 $=\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$

후진(v<0)하면 위치는 줄지만 거리는 늘어난다. 그래서 절댓값.

함께 생각하기 ②

$F(x)=\dfrac{x^3}3$ 은 $x^2$의 부정적분이에요. $F(2)-F(0)$의 값은? (분수로)

3적분 카드 — 핵심 도구

다항함수의 적분은 미분 카드를 거꾸로 돌리는 거예요: 항마다 지수 하나 올리고, 그 수로 나눈다. 상수 $c$는 $cx$가 돼요. 검산은 항상 미분.

$f(x)=3x^2-2x+1$

→ 적분 →

$F(x)=x^3-x^2+x+C$

불변 앵커 적분은 넓이 쌓기, 미분의 반대. 넓이의 변화율이 높이다. 계산은 "지수 올리고 나누기, 그리고 두 끝값 빼기".

적분 카드 연습이에요. 미분해서 되돌아가는지 검산하세요.

4유형별 완전정복

네 가지 유형 모두 부정적분 구하기 → 두 끝값 빼기예요. 넓이와 거리는 "부호"만 조심하면 돼요.

①

부정적분

미분의 반대 + C

핵심 $F'(x)=f(x)$이면 $F(x)=\int f\,dx$. 조건 하나(예: $F(0)=3$)가 주어지면 $C$가 정해진다.

②

정적분 계산

F(b) − F(a)

핵심 부정적분 $F$를 구하고 $F(b)-F(a)$. $C$는 쓰지 않아도 된다(빼면 사라짐). 음수 대입은 괄호.

③

넓이

위 − 아래, 부호 주의

핵심 먼저 교점(경계)을 구하고, 구간에서 어느 쪽이 위인지 확인한 뒤 (위 − 아래)를 적분한다. $x$축 아래 부분은 $-f$를 적분.

④

속도 → 거리

속도 그래프 아래 넓이

핵심 위치 변화 $=\int v$, 이동 거리 $=\int|v|$. $v=0$이 되는 순간(방향 전환)에서 구간을 나눈다.

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 부정적분부터 구하세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

🧱 적분 한 장 요약

부정적분$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ · 검산은 미분

정적분부호 있는 넓이 · $\int_a^b f=F(b)-F(a)$

왜 되나넓이의 변화율 = 높이 → $S'=f$ (기본정리)

넓이경계(교점) 찾기 → (위 − 아래) 적분 · 축 아래는 $-f$

속도위치 변화 $\int v$ · 이동 거리 $\int|v|$

한 문장적분은 넓이 쌓기, 미분의 반대

📌 어른이 되어도 기억할 것

쌓으면 적분, 쪼개면 미분. 누적 강수량은 강수 강도의 적분, 총 거리는 속력의 적분, 총 사용량은 순간 소비의 적분.
미분과 적분은 서로 반대라는 사실(기본정리)이 17세기에 밝혀지면서, 넓이 계산이 "부정적분 찾기"라는 계산 문제로 바뀌었어요. 과학혁명의 엔진이에요.
컴퓨터는 적분을 직사각형 합으로 근사해요. 위젯의 $n$을 늘리는 것이 컴퓨터가 하는 일 그대로예요.

💡 3부작의 완결과 그 너머

속력(중1) → 기울기(중2) → 미분(변화율) → 적분(누적). 변화율을 쌓으면 원래 양으로 돌아와요. 이것으로 미적분Ⅰ의 큰 그림이 완성돼요. 대학에서는 이 넓이 쌓기가 부피·확률·전기장·경제의 총효용까지 넓어져요.

🏠 이미 보고 있던 곳

전기 요금 고지서(순간 전력의 적분 = kWh), 자동차 주행 거리계(속력의 적분), 저수지 수위(유입량의 적분), 운동 앱의 "오늘 소모 칼로리"(소모율의 적분).

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

구조 설계(하중의 누적), 약물 동태학(혈중 농도 곡선 아래 넓이 AUC), 경제학(소비자 잉여 = 수요 곡선 아래 넓이), 컴퓨터 그래픽·물리 엔진(속도를 적분해 위치 갱신), 데이터 분석(누적 분포). 🎓 기계·토목공학 · 약학 · 경제학 · 컴퓨터공학

단원 앱으로 이어서 → 부정적분과 정적분 · 넓이 · 속도와 거리

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