정적분의 활용 — 넓이와 속도·거리

📋 정적분이 "진짜 넓이"와 "진짜 거리"가 되려면

💥 왜 배우나

앞 단원에서 정적분은 부호 있는 넓이였어요. 축 아래는 음수. 그런데 호수의 넓이를 물으면 "−4"라는 답은 없죠. 그래서 아래쪽은 부호를 뒤집어 더해야 해요. 자동차도 마찬가지예요. 앞으로 3 갔다가 뒤로 2 오면 위치 변화는 1이지만 이동 거리는 5. 속도 그래프 아래 넓이를 부호 그대로 더하면 위치 변화, 절댓값으로 더하면 이동 거리예요. 이 단원은 "부호를 언제 벗기는가"의 단원이에요.

🚪 정적분이 $F(b)-F(a)$인 이유가 흐릿하면 → 부정적분과 정적분 · 관문 특강: 적분 = 넓이 쌓기

🏛️

아르키메데스 (기원전 287~212) — 적분 2,000년 전에 포물선 넓이를 구하다

아르키메데스는 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이가 그 안에 내접하는 가장 큰 삼각형 넓이의 $\frac43$배임을 증명했어요. 삼각형을 무한히 채워 넣는 "실진법"으로요. 오늘 우리가 배우는 공식 $\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}$이 정확히 그 결과예요. 2,000년 뒤 뉴턴과 라이프니츠의 적분이 이 계산을 한 줄로 만들었어요.

📐 곡선과 $x$축 사이의 넓이 — 아래쪽은 부호를 뒤집는다

$y=x^2-2x=x(x-2)$는 $0$과 $2$ 사이에서 $x$축 아래로 내려가요. $a$, $b$를 움직이며 정적분(부호 그대로)과 넓이(아래쪽 뒤집어 더함)가 언제 달라지는지 보세요.

✅ 넓이 공식

곡선 $y=f(x)$와 $x$축, $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 넓이 $S=\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx$. 실제로는 $f$의 부호가 바뀌는 점(= $x$축과의 교점)에서 구간을 나눠, 아래쪽 구간은 $-f$를 적분한다.

$y=x^2-2x$ 와 $x$축 및 $x=3$ 으로 둘러싸인 넓이는?

1교점: $x^2-2x=0$ → $x=0,2$. $[0,2]$에서 아래, $[2,3]$에서 위.

→ 부호가 바뀌는 곳에서 자른다.

2$F(x)=\tfrac{x^3}3-x^2$: $F(0)=0$, $F(2)=-\tfrac43$, $F(3)=0$.

3$S=-\displaystyle\int_0^2 f\,dx+\int_2^3 f\,dx=\tfrac43+\tfrac43$.

$\dfrac83$

⚠️ 한 번에 적분하면 틀린다

$\displaystyle\int_0^3(x^2-2x)\,dx=0$이에요. 아래쪽 $-\tfrac43$과 위쪽 $\tfrac43$이 상쇄돼서요. 넓이는 $\tfrac83$. "넓이"라는 말이 나오면 교점부터 구해 자르기.

✂️ 넓이를 이등분하는 직선 찾기

"직선 $x=a$ 가 넓이를 이등분한다"는 조건은 왼쪽 넓이 = 전체의 절반으로 놓는 것이 가장 짧다. 오른쪽까지 따로 구할 필요가 없다.
예 — 곡선 $y=x^2$ 과 $x$축, 두 직선 $x=0$, $x=2$ 로 둘러싸인 넓이를 $x=a$ 가 이등분할 때 $a^3$ 은?
① 전체 $=\displaystyle\int_0^2 x^2dx= frac83$, 절반 $= frac43$
② $\displaystyle\int_0^a x^2dx= frac{a^3}3= frac43$ → $a^3=4$
확인 — 오른쪽도 $ frac83- frac43= frac43$ 으로 같다.
⚠️ 구간을 반으로 나눠도 넓이가 반이 되지 않는다. 위 예에서 $a=1$ 이면 왼쪽은 $ frac13$ 뿐이라 절반인 $ frac43$ 에 한참 못 미친다. 곡선 아래는 오른쪽이 훨씬 두껍기 때문이다.

🔀 두 곡선 사이의 넓이 — 위에서 아래를 뺀다

포물선 $y=x^2$과 직선 $y=x+k$ 사이. 직선을 위아래로 움직이면 교점이 벌어지고 넓이가 커져요. 넓이는 언제나 $\displaystyle\int_\alpha^\beta(\text{위}-\text{아래})\,dx$. 축 아래로 내려가도 상관없어요.

✅ 두 곡선 사이

$[\alpha,\beta]$에서 $f\ge g$이면 $S=\displaystyle\int_\alpha^\beta\{f(x)-g(x)\}\,dx$. 위아래가 바뀌면 교점에서 잘라 각각 (위 − 아래). 포물선 $y=ax^2+\dots$과 직선이 $\alpha,\beta$에서 만나면 $S=\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}$.

$y=x^2$ 과 $y=x+2$ 로 둘러싸인 넓이는?

1교점: $x^2=x+2$ → $x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0$ → $\alpha=-1,\beta=2$. 그 사이에서 직선이 위.

2$S=\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}2+2x-\tfrac{x^3}3\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{10}3-\left(-\tfrac76\right)$.

3검산: $\dfrac{|1|(2-(-1))^3}{6}=\dfrac{27}6$.

→ 공식은 검산용. 서술에서는 적분식을 쓴다.

$\dfrac92$

$y=x^3-x$ 와 $y=3x$ 로 둘러싸인 넓이는?

1교점: $x^3-x=3x$ → $x(x^2-4)=0$ → $x=-2,0,2$. $[-2,0]$에서는 삼차가 위, $[0,2]$에서는 직선이 위.

→ 위아래가 바뀌므로 0에서 자른다.

2$h(x)=x^3-4x$는 홀함수 → 양쪽 넓이가 같다. $S=2\displaystyle\int_0^2(4x-x^3)\,dx=2\Big[2x^2-\tfrac{x^4}4\Big]_0^2=2(8-4)$.

$8$

📏 공식은 "두 식의 차가 이차식"일 때 쓴다

$\dfrac{|a|(eta-lpha)^3}{6}$ 이 성립하는 조건은 두 식의 차가 이차식이라는 것뿐이다. 포물선과 직선일 때만이 아니라 두 포물선이어도 차가 이차식이면 그대로 쓴다. 여기서 $a$ 는 차의 이차항 계수다.
예 1 (포물선과 직선) — $y=x^2$ 과 $y=x+2$: 차 $=x^2-x-2$ 라 $a=1$, 교점 $-1,\,2$ → $\dfrac{1\cdot3^3}{6}=\dfrac92$
예 2 (두 포물선) — $y=x^2$ 과 $y=-x^2+6x$: 차 $=2x^2-6x$ 라 $a=2$, 교점 $0,\,3$ → $\dfrac{2\cdot3^3}{6}=9$
확인 — 예 2 를 적분으로 하면 $\displaystyle\int_0^3(-2x^2+6x)\,dx=-18+27=9$ ✓
⚠️ 차가 삼차 이상이면 못 쓴다. $y=x^3$ 과 $y=x$ 는 차가 $x^3-x$ 라 이 공식이 통하지 않고, 교점 $-1,\,0,\,1$ 에서 잘라 적분해야 한다. 서술에서는 적분식을 쓰고 이 공식은 검산용으로 둔다.

🚗 속도와 거리 — 위치 변화 vs 이동 거리

속도 $v(t)=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$인 점. $t=1$부터 $t=3$까지는 뒤로 가요(속도 음수). 시간을 움직이며 "위치 변화"(부호 그대로 쌓기)와 "이동 거리"(절댓값 쌓기)가 갈라지는 순간을 보세요.

✅ 속도 → 위치·거리

시각 $a$에서 $b$까지 위치 변화 $=\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ (부호 그대로), 이동 거리 $=\displaystyle\int_a^b|v(t)|\,dt$ (부호 뒤집어 더함). 시각 $t$의 위치 $x(t)=x(0)+\displaystyle\int_0^t v(s)\,ds$.

$v(t)=t^2-4t+3$ 일 때 $t=0$부터 $t=4$까지의 위치 변화와 이동 거리는?

1$F(t)=\tfrac{t^3}3-2t^2+3t$: $F(0)=0$, $F(1)=\tfrac43$, $F(3)=0$, $F(4)=\tfrac43$.

2위치 변화 $=F(4)-F(0)=\tfrac43$.

3이동 거리: $v$의 부호가 $1,3$에서 바뀌므로 $\displaystyle\int_0^1 v-\int_1^3 v+\int_3^4 v=\tfrac43+\tfrac43+\tfrac43$.

위치 변화 $\dfrac43$ · 이동 거리 $4$

지면에서 $20$ m/s로 위로 던진 물체($v(t)=20-10t$)가 다시 지면에 떨어질 때까지 움직인 거리는?

1최고점 $v=0$ → $t=2$. 올라간 높이 $\displaystyle\int_0^2(20-10t)\,dt=40-20=20$.

2내려올 때도 같은 높이 → 위치 변화는 $0$, 이동 거리는 $20\times2$.

$40$ m (위치 변화 $0$)

⚠️ "거리"와 "위치"를 구별하는 단어

"움직인 거리·이동 거리"는 절댓값 적분, "위치·변위·몇 m 떨어져 있나"는 부호 적분. 문제의 단어가 어느 쪽인지 먼저 표시해요.

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것

넓이는 자른 다음 위에서 아래를 뺀다. 교점이 칼자국이고, 아래쪽은 부호를 뒤집는다.
속도 그래프 아래 넓이 = 거리. 부호를 살리면 "어디에 있나", 부호를 벗기면 "얼마나 움직였나".
포물선 조각의 넓이 $\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}$. 아르키메데스의 $\frac43$이 적분으로 한 줄.

💡 인사이트 — "곡선 아래 넓이"라는 말

약을 먹으면 혈중 농도가 올랐다 내려가요. 의사와 약학자가 보는 것은 최고 농도만이 아니라 농도-시간 곡선 아래의 넓이(AUC)예요. 몸이 약에 얼마나 노출됐는지를 한 숫자로 요약하니까요. 심전도, 배터리 방전 곡선, 강우 그래프까지 세상은 "곡선 아래 넓이"를 셀 줄 아는 사람에게 더 많이 보여요.

🏠 넓이와 거리가 보이는 곳

📍

GPS·내비

속도 기록을 쌓아 이동 거리 표시

💊

약 복용

농도 곡선 아래 넓이로 용량 설계

🗺️

호수 넓이

경계 곡선 사이를 적분

🏃

달리기 앱

왕복해도 거리는 두 배, 위치 변화는 0

🌊

조수 간만

유입 − 유출 = 부호 있는 넓이

📊

누적 수익

수익률 곡선 아래 넓이

🏭 산업과 직업

🧪

약학·임상시험
약물 농도-시간 곡선의 넓이(AUC)는 신약 승인 자료의 핵심 지표. 적분값 하나로 약의 노출량을 비교한다.
🎓 약학 · 생명공학

✈️

항공·해운
속도 기록을 시간으로 적분해 항로 거리·연료 소모를 계산한다. 관성항법장치는 가속도를 두 번 적분해 위치를 구한다.
🎓 항공우주 · 조선해양

🏗️

측량·GIS
불규칙한 땅의 면적, 도로의 토공량은 경계 곡선을 적분해 구한다. 지도 앱의 면적 측정이 그 자동화.
🎓 토목공학 · 지리정보

🔥 정적분의 활용 퀴즈

문제 1 / 10점수 0 / 10

✅ 정리

항목	내용
곡선과 $x$축	$S=\int_a^b\|f\|\,dx$ · 교점에서 잘라 아래쪽은 $-f$
두 곡선 사이	$S=\int_\alpha^\beta(\text{위}-\text{아래})\,dx$ · 위아래 바뀌면 자르기 · 포물선·직선 $\frac{\|a\|(\beta-\alpha)^3}{6}$
위치 변화	$\int_a^b v\,dt$ (부호 그대로)
이동 거리	$\int_a^b\|v\|\,dt$ (부호 뒤집어 더함) · 최고점은 $v=0$

🔑 한 줄 요약

교점에서 자르고, 위에서 아래를 빼고, "거리"면 절댓값.

자가 점검

$x$축과의 교점에서 구간을 나눠 넓이를 구할 수 있다

두 곡선의 교점을 구하고 (위 − 아래)를 적분할 수 있다

포물선·직선 넓이 공식으로 검산할 수 있다

위치 변화와 이동 거리를 구별해 계산할 수 있다

약점 태그

미적Ⅰ:넓이(x축)미적Ⅰ:두 곡선 사이미적Ⅰ:속도와 거리

🏁 미적분Ⅰ 완주

극한 → 미분 → 적분, 변화율 3부작이 끝났어요. 미적분Ⅰ 허브에서 흐릿한 단원을 다시 열어 보세요.

📐 정적분의 활용 — 넓이와 속도·거리