스피커의 소리 세기를 10배로 올려도 우리 귀에는 "두 배쯤 커졌다" 정도로만 들려요. 네 배로 느끼려면 100배를 올려야 해요. 사람의 감각은 자극의 크기가 아니라 자극의 로그에 비례해요(베버–페히너 법칙). 그래서 소리(데시벨), 별의 밝기(등급), 지진(규모)은 전부 로그 눈금으로 적어요. 로그함수는 폭발하는 것을 사람이 읽을 수 있게 완만하게 눌러 주는 함수예요.
생리학자 베버는 "손에 든 무게가 2~3%쯤 늘어야 차이를 느끼고, 그 비율은 무게가 커져도 일정하다"처럼 감각이 비율로 작동함을 실험으로 밝혔고, 페히너는 이를 "느낌 $=k\log(\text{자극})$"으로 정리했어요. 심리학이 수학이 된 첫 순간이고, 데시벨·별의 등급·사진의 노출 단계가 이 법칙 위에 있어요.
📉 $y=\log_a x$ 의 그래프 — 지수함수의 거울
$y=\log_a x$는 $y=a^x$의 역함수라서, 그래프는 $y=x$에 대해 대칭이에요. "함께 보기"를 켜고 밑 $a$를 움직여 보세요. 지수함수의 $(0,1)$이 로그함수에서는 $(1,0)$이 되고, 점근선 $y=0$은 $x=0$이 돼요.
밑 $a$2
$a\gt1$
$0\lt a\lt1$
모양
증가 (천천히 계속 올라감)
감소
정의역 / 치역
양수 전체 ($x\gt0$) / 실수 전체
지나는 점
$(1,0)$ 항상 · $(a,1)$
점근선
$y$축 ($x=0$)
대칭
$y=\log_a x$ 와 $y=a^x$ 는 $y=x$ 대칭 · $y=\log_a x$ 와 $y=\log_{1/a}x=-\log_a x$ 는 $x$축 대칭
🔑 정의역이 $x\gt0$인 이유
지수함수의 치역이 양수 전체였으니, 뒤집은 로그함수의 정의역은 양수 전체. 로그 문제에서 "진수 조건"이 늘 따라붙는 이유가 이 그래프에 있어요. 그리고 $x$가 커져도 로그는 아주 천천히 커져요. $\log_2 1000\approx10$, $\log_2 1{,}000{,}000\approx20$. 천 배가 겨우 10 차이예요.
🔁 이동 — 점근선이 세로로 따라간다
$y=\log_2(x-m)+n$: 오른쪽으로 $m$, 위로 $n$. 지수함수와 달리 점근선이 세로선 $x=m$이라서, 정의역도 $x\gt m$으로 같이 움직여요.
$m$ (좌우)0
$n$ (상하)0
이동
식
점근선 · 정의역
평행이동 ($m$, $n$)
$y=\log_a(x-m)+n$
$x=m$ · $x\gt m$
$x$축 대칭
$y=-\log_a x$
$x=0$ · $x\gt0$
$y$축 대칭
$y=\log_a(-x)$
$x=0$ · $x\lt0$ (정의역이 뒤집힌다!)
원점 대칭
$y=-\log_a(-x)$
$x=0$ · $x\lt0$
⚠️ 흔한 실수
$y=\log_2(2x)$는 "옆으로 $\frac12$ 압축"인 동시에 $\log_2 2+\log_2 x=1+\log_2 x$, 즉 위로 1 이동이에요. 로그에서는 그 둘이 같은 그래프예요. $y=\log_2 x^2=2\log_2 x$는 세로로 2배($x\gt0$일 때). 로그의 성질이 그래프에서는 이동으로 나타나요.
🧮 로그방정식·부등식 — 진수 조건이 먼저
로그가 들어간 식은 풀기 전에 진수 $\gt0$부터 적어요. 다 풀고 나서 조건에 맞지 않는 답을 버리는 것이 이 단원의 핵심 습관이에요.
예제 1 — 지수 식으로 되돌리기
$\log_2(x-1)=3$ 의 해는?
0진수 조건: $x-1\gt0$ → $x\gt1$.
1정의로 되돌리기: $x-1=2^3=8$.
→ "2를 3제곱하면 진수"
2$x=9$. 조건 $x\gt1$ 만족 ✓.
$x=9$
예제 2 — 하나로 합친 뒤, 조건으로 거르기
$\log_3(x+2)+\log_3(x-6)=2$ 의 해는?
0진수 조건: $x+2\gt0$ 이고 $x-6\gt0$ → $x\gt6$.
1합은 곱: $\log_3(x+2)(x-6)=2$ → $(x+2)(x-6)=9$.
2$x^2-4x-21=0$ → $(x-7)(x+3)=0$ → $x=7$ 또는 $x=-3$.
한 식에 밑이 서로 다른 로그가 있으면 그대로 더하거나 비교할 수 없다. 밑을 하나로 통일하는 것이 첫 손이다. $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ — 바꾸려는 로그가 위, 원래 밑의 로그가 아래. 예 1 — $\log_4 N = \dfrac{\log_2 N}{\log_2 4} = \dfrac12\log_2 N$ 이므로 $\log_2(x+2) = \log_4(3x+10)$ 은 양변에 2를 곱해 $2\log_2(x+2) = \log_2(3x+10)$, 즉 $(x+2)^2 = 3x+10$ 으로 바뀐다. 예 2 — 밑이 문자일 때도 같다. $\log_x 4 = \dfrac{\log_2 4}{\log_2 x} = \dfrac{2}{\log_2 x}$. 그래서 $\log_2 x + \log_x 4 = 3$ 은 $t = \log_2 x$ 로 놓으면 $t + \dfrac2t = 3$ 이 된다. 밑이 다른 로그를 그냥 더해 진수를 곱해 버리는 것이 이 유형의 실점 지점이다.
📦 (log x)² 꼴은 치환한다 — 범위도 함께
로그가 제곱으로 들어 있거나 같은 로그가 여러 번 나오면 $t = \log_a x$ 로 놓아 이차식으로 바꾼다. 이때 $x$ 의 범위가 곧 $t$ 의 범위가 된다. 예 — $\dfrac19 \le x \le 27$ 에서 $y = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1$ 의 최솟값은? ① $t = \log_3 x$ 로 놓으면 $x = \frac19$ 에서 $t = -2$, $x = 27$ 에서 $t = 3$ → $-2 \le t \le 3$ ② $y = t^2 - 4t + 1 = (t-2)^2 - 3$ · 꼭짓점 $t = 2$ 가 범위 안에 있으므로 최솟값은 $-3$ (이때 $x = 9$) ③ 꼭짓점이 범위 밖이면 가까운 끝점에서 최솟값이 나온다. $(\log_a x)^2$ 과 $\log_a x^2 = 2\log_a x$ 는 전혀 다른 식이다. 제곱이 로그 밖에 있는지 진수에 있는지 먼저 본다.
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
그래프의 축을 확인하라. 세로축이 1, 10, 100…이면 로그 눈금이고, 그때 직선은 "지수적 증가"를 뜻한다. 주가·감염자·인구 그래프를 볼 때 첫 번째로 볼 것.
감각은 로그다. 소리·밝기·무게의 느낌은 비율로 작동한다. 그래서 볼륨 눈금, 카메라 노출, 별의 등급은 로그 단위.
로그는 폭발을 길들인다. 천 배 차이도 로그를 씌우면 3 차이. 큰 수와 작은 수를 한 그래프에 그릴 때 쓰는 도구.
💡 인사이트 — 데이터를 다루는 눈
데이터 분석에서는 한쪽으로 치우친 값(소득, 도시 인구, 파일 크기)에 로그를 씌워 분포를 고르게 만든 뒤 분석해요. 이 감각은 통계에서 데이터를 다루는 기본기가 돼요. 그리고 미적분Ⅱ에서 자연로그의 미분 $\frac1x$은 자연의 성장률을 설명하는 열쇠가 돼요.
🏠 로그 눈금이 쓰이는 곳
🔊
데시벨
$10\log\frac{I}{I_0}$ · 10배 = +10dB
⭐
별의 등급
5등급 차이 = 밝기 100배
🌋
지진 규모
규모 = 진폭의 로그
🧪
pH
$-\log[\mathrm{H}^+]$
📈
로그 차트
주가·인구 장기 추세
📷
노출 단계
한 스톱 = 빛 2배
🏭 산업과 직업
📊
데이터 과학 치우친 데이터의 로그 변환, 로그 손실 함수, 정보량(비트 = $\log_2$). 머신러닝 코드에 로그가 매일 등장한다. 🎓 데이터사이언스 · 통계 · 컴퓨터공학
🎚️
음향·방송 데시벨 미터, 이퀄라이저, 음량 규제(라우드니스)까지 소리 산업의 단위는 전부 로그. 🎓 음향공학 · 전자공학
🔭
천문·지구과학 별의 등급, 지진 규모, 대기압 고도 공식. 관측값이 자릿수 단위로 달라지는 분야는 로그로 산다. 🎓 천문학 · 지구과학 · 물리학
💊
의약·화학 pH, 약물 농도–반응 곡선(용량이 10배 늘 때 반응은 일정량 증가). 🎓 약학 · 화학공학