🚪 관문 특강 · 대수 Ⅰ 지수함수와 로그함수

🔑 지수→로그 완전정복 — 로그는 "지수가 뭐였지?"

로그가 나오는 순간 수학을 접는 학생이 정말 많아요. 로그를 계산 규칙 암기로 배우기 때문이에요. 그런데 로그는 딱 한 문장이에요. "몇 제곱이었지?"라고 되묻는 말. $2^3=8$을 보고 "2를 몇 제곱하면 8이지? 3!"이라고 답하는 것, 그게 $\log_2 8=3$이에요. 이 특강에서는 그 질문 하나로 정의·성질·자릿수·방정식까지 전부 읽어요.

① 정의 변환 ② 로그의 성질 ③ 상용로그·자릿수 ④ 지수·로그 방정식

1곡선을 뒤집으면 질문이 뒤집힌다 (공식 없이)

$y=2^x$ 곡선이에요. 슬라이더로 점을 옮기면 "2를 $x$제곱하면 얼마?"에 답해요. 이제 뒤집기 버튼을 눌러 곡선을 $y=x$에 대해 접어 보세요. 같은 점이 이번엔 "2를 몇 제곱해야 이 수가 되지?"에 답해요. 그 답이 로그예요.

보이나요? 곡선은 하나이고, 읽는 방향만 바뀌었어요. $2^x$는 "지수를 넣으면 수가 나오는 기계", $\log_2$는 그 기계를 거꾸로 돌린 것이에요. 그래서 지수함수와 로그함수는 서로 역함수이고, 그래프가 $y=x$ 대칭이에요.

함께 생각하기 ①

$\log_2 32$ 의 값은? ("2를 몇 제곱하면 32?")

2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것

정의부터. 로그는 지수를 되묻는 말이라서, 지수 식과 로그 식은 같은 사실을 두 방향으로 적은 거예요.

$a^x=b \quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_a b$ ($a>0,\ a\ne1,\ b>0$)

밑 a, 진수 b. "a를 몇 제곱하면 b가 되나"의 답이 x. 양수를 거듭제곱하면 항상 양수라서 진수 b는 양수만 가능하다.

로그의 성질은 새로 외울 게 아니라 지수법칙을 로그 말로 옮긴 것이에요. $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$은 "곱하면 지수가 더해진다". 그러니까 로그(지수를 묻는 말)로 보면 "곱의 로그는 로그의 합".

$\log_a MN=\log_a M+\log_a N,\quad \log_a\dfrac MN=\log_a M-\log_a N,\quad \log_a M^k=k\log_a M$

지수법칙 a^m·a^n = a^(m+n), a^m ÷ a^n = a^(m−n), (a^m)^k = a^(mk) 의 번역. 그리고 log_a a = 1, log_a 1 = 0.

밑변환은 "어떤 밑으로 물어도 비율은 같다"는 뜻이에요. 계산기에는 밑이 10인 로그밖에 없으니, $\log_2 8$을 구하려면 $\dfrac{\log 8}{\log 2}$로 바꿔서 누르면 돼요.

$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a},\qquad \log_a b\cdot\log_b a=1$

밑과 진수를 바꾸면 역수. 밑이 거듭제곱이면 지수를 앞으로 빼서 나눈다: log_{a^m} b^n = (n/m) log_a b.

밑이 10인 로그를 상용로그라 하고 밑을 생략해서 $\log N$이라 써요. 상용로그의 정수 부분이 자릿수를 알려줘요: $\log 1000=3$이니까 1000은 4자리, $\log N$이 3.xxx이면 $N$은 4자리예요.

$N$이 $n$자리 정수 $\Longleftrightarrow n-1\le\log N\lt n$

log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771 두 개만 알면 2^100 같은 수의 자릿수를 계산할 수 있다.

함께 생각하기 ②

$\log_2 12-\log_2 3$ 의 값은? (차는 나눗셈의 로그)

3지수 ↔ 로그 변환기 — 핵심 도구

로그 문제를 만나면 계산보다 먼저 지수 식으로 되돌려 써요. 되돌리면 거의 항상 중학교 수준의 지수 문제가 돼요. 버튼을 눌러 왕복해 보세요.

$2^3=8$

⇄

$\log_2 8=3$

지수법칙$a^m a^n=a^{m+n}$

로그 성질$\log MN=\log M+\log N$

지수법칙$a^m\div a^n=a^{m-n}$

로그 성질$\log\frac MN=\log M-\log N$

지수법칙$(a^m)^k=a^{mk}$

로그 성질$\log M^k=k\log M$

불변 앵커 로그는 "몇 제곱이었지?"라는 질문이다. 막히면 $\log_a b=x$를 $a^x=b$로 되돌려 쓴다.

되돌려 쓰기 연습이에요. 매번 다른 수가 나와요.

4유형별 완전정복

네 가지 유형 모두 지수 식으로 되돌리기 → 밑 맞추기 → 지수 비교예요. "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.

①

정의 변환

몇 제곱이었지? — 분수 지수까지

핵심 $\log_a b=x \Leftrightarrow a^x=b$. 밑과 진수를 같은 밑의 거듭제곱으로 고쳐 쓰면 지수 비교로 끝난다. $\log_4 8$은 $4=2^2$, $8=2^3$ → $\frac32$.

②

로그의 성질

합은 곱, 차는 나눗셈, 계수는 거듭제곱

핵심 같은 밑의 로그끼리는 하나로 합친다: 합→곱, 차→나눗셈, 앞의 수→지수. 합친 뒤 진수를 밑의 거듭제곱으로 쓴다.

③

상용로그 · 자릿수

log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 두 개로

핵심 자릿수 = $\log N$의 정수 부분 $+1$. $\log 5=\log\frac{10}{2}=1-\log2$, $\log 6=\log2+\log3$ 처럼 2와 3으로 분해한다.

④

지수·로그 방정식

밑 통일 → 지수 비교 / 로그 → 지수 식

핵심 지수방정식은 밑을 통일하고 지수끼리 비교. 로그방정식은 지수 식으로 되돌리고, 구한 값이 진수 조건(양수)을 만족하는지 마지막에 확인.

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 지수 식으로 되돌리는 것부터 해 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

🔑 지수와 로그 한 장 요약

정의$a^x=b \Leftrightarrow x=\log_a b$ · 진수 $b>0$, 밑 $a>0, a\ne1$

기본값$\log_a a=1$, $\log_a 1=0$, $\log_a a^k=k$

성질합↔곱 · 차↔나눗셈 · 계수↔지수 (지수법칙의 번역)

밑변환$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ · $\log_{a^m}b^n=\frac nm\log_a b$

상용로그$\log 2\approx0.3010$, $\log3\approx0.4771$ · 자릿수 = 정수 부분 + 1

한 문장로그는 "몇 제곱이었지?" — 막히면 지수 식으로 되돌린다

📌 어른이 되어도 기억할 것

지진 규모(리히터), 소리 크기(데시벨), 산성도(pH)는 전부 로그 눈금이에요. 규모 7은 규모 6보다 에너지가 약 32배예요. 큰 수를 사람이 읽을 수 있는 크기로 줄여 주는 도구가 로그예요.
복리, 인구 증가, 감염 확산, 반도체 성능은 지수적으로 변해요. "매년 7%"는 10년이면 약 2배라는 감각(70의 법칙)은 로그에서 나와요.
로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿔 줘요. 계산기가 없던 시절 항해사와 천문학자가 로그표로 거대한 곱셈을 했고, 그 덕에 이후의 항해력과 천문 계산이 가능해졌어요.

💡 다음으로 이어지는 것

이 특강의 "뒤집기"가 그대로 지수함수와 로그함수의 그래프(다음 단원)예요. 그래프의 점근선·정의역·증가와 감소는 전부 "역함수라서" 자동으로 따라와요. 그리고 로그의 "곱을 합으로"는 통계에서 데이터를 다룰 때 다시 만나요.

🏠 이미 보고 있던 곳

스마트폰 볼륨 단계, 카메라의 조리개·ISO 단계, 별의 밝기 등급, 그리고 "2의 10제곱이 대략 1000"이라서 컴퓨터가 용량을 1024(=2¹⁰)씩 묶어 세는 것(KiB·MiB·GiB). 전부 지수와 로그예요.

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

정보량(비트)을 $\log_2$로 정의하는 정보통신, 복리·할인율을 다루는 금융, 데시벨·pH·지진 규모를 쓰는 음향·화학·지질, 손실 함수에 로그가 들어가는 인공지능. 🎓 컴퓨터공학 · 금융공학 · 전자공학

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