지수와 로그

📋 거듭제곱의 세계를 넓히기

💥 왜 배우나

체스판 발명가가 왕에게 "첫 칸에 쌀 1알, 다음 칸에 2알, 그다음 4알… 64칸까지"를 청했다는 이야기가 있어요. 마지막 칸은 $2^{63}$알, 전부 합치면 약 $1.8\times10^{19}$알로 지금 전 세계가 900년 가까이 거둬야 하는 양이에요. 두 배씩 커지는 것(지수)은 사람의 직관을 배신해요. 그리고 그 거대한 수를 "몇 자리인가"로 줄여 읽는 도구가 로그예요.

🚪 먼저 감부터 잡고 싶다면 → 관문 특강: 지수→로그 완전정복 ($2^x$ 곡선 뒤집기 · 유형 4 무한 연습)

📜

존 네이피어 (1550~1617) — 로그의 발명

스코틀랜드의 네이피어는 천문학자들이 거대한 곱셈에 시달리는 것을 보고 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 표를 20년에 걸쳐 만들었어요. 케플러는 이 표로 행성 위치표(루돌프 표)를 완성했고, "네이피어가 천문학자의 수명을 두 배로 늘렸다"는 말이 남았어요. 계산기가 나오기 전까지 350년 가까이 공학자의 필수 도구였던 계산자(slide rule)도 로그예요.

🌱 거듭제곱근 — $n$제곱하면 $a$가 되는 수

$x^n=a$를 만족시키는 $x$를 $a$의 $n$제곱근이라고 해요. 몇 개인지는 "그래프 $y=x^n$과 가로선 $y=a$가 몇 번 만나나"로 보면 돼요. $n$과 $a$를 바꿔 보세요.

	$a>0$	$a=0$	$a<0$
$n$ 홀수	1개: $\sqrt[n]{a}$	1개: $0$	1개: $\sqrt[n]{a}$ (음수)
$n$ 짝수	2개: $\pm\sqrt[n]{a}$	1개: $0$	없음

⚠️ 기호 $\sqrt[n]{a}$의 뜻

$n$이 짝수이고 $a>0$이면 $n$제곱근은 두 개지만, 기호 $\sqrt[n]{a}$는 그중 양수 하나만 가리켜요. "4의 제곱근"은 $\pm2$, "$\sqrt4$"는 $2$. 그리고 $\sqrt{a^2}=|a|$ 예요($a$가 음수일 수 있으니까).

거듭제곱근의 성질 ($a>0, b>0$, $m, n$은 2 이상의 자연수)

🔑 읽는 법

전부 "루트 안에서는 곱·나눗셈·거듭제곱이 자유롭다"는 뜻이에요. 지수로 바꿔 쓰면($\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$) 지수법칙 그 자체가 돼요. 다음 탭에서 확인해요.

📈 지수의 확장 — 규칙을 지키면서 넓히기

$2^3=2\times2\times2$은 알지만 $2^0$, $2^{-1}$, $2^{1/2}$은 "2를 0번 곱한다"로는 설명이 안 돼요. 대신 지수법칙이 계속 성립하도록 뜻을 정해요. 그게 확장이에요.

① 자연수$2^3=8$. 곱한 횟수.

② 정수$2^3\div2^3=2^{0}$ 이어야 하니 $2^0=1$. $2^{-1}=2^0\div2=\dfrac12$. 규칙 $a^{m-n}=a^m\div a^n$ 유지.

③ 유리수$(2^{1/2})^2=2^{1}$ 이어야 하니 $2^{1/2}=\sqrt2$. 일반적으로 $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$.

④ 실수$2^{\sqrt2}$는 $2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.414},\dots$ 가 다가가는 값. 무리수 지수도 하나의 수로 정해진다.

지수법칙 ($a>0, b>0$, $x, y$는 실수)

예제 — 밑을 통일해서 간단히

$8^{\frac23}\times 4^{-\frac12}$ 의 값은?

1밑을 전부 2로: $8=2^3$, $4=2^2$.

→ 밑이 같아야 지수를 더하고 뺄 수 있다.

2$(2^3)^{\frac23}=2^{2}$, $(2^2)^{-\frac12}=2^{-1}$.

→ $(a^m)^n=a^{mn}$.

3$2^2\times2^{-1}=2^{1}=2$.

→ 곱은 지수의 합.

$8^{\frac23}\times4^{-\frac12}=2$

⚠️ 흔한 실수

$a^m\times a^n$은 지수를 더하고, $(a^m)^n$은 지수를 곱해요. 그리고 $a^m+a^n$은 지수법칙이 없어요(그냥 덧셈). 밑이 다르면($2^3\times3^2$) 지수를 합칠 수 없어요.

🔑 로그 — 지수를 되묻는 말

$2^x=8$의 $x$는 3이에요. 그런데 $2^x=10$의 $x$는? 정수도 분수도 아니지만 분명히 하나 있어요. 그 수에 이름을 붙인 것이 로그예요.

✅ 정의

$a>0$, $a\ne1$, $b>0$일 때, $a^x=b$ 를 만족시키는 $x$를 $\log_a b$ 라 쓴다. $a$는 밑, $b$는 진수.
$$a^x=b\ \Longleftrightarrow\ x=\log_a b$$

왜 조건이 붙나

밑이 1이면 $1^x$는 항상 1이라 다른 진수를 만들 수 없고, 밑이 음수나 0이면 $(-2)^{1/2}$처럼 정의가 안 되는 지수가 생겨요. 진수는 양수의 거듭제곱은 항상 양수라서 양수만 가능해요. 그래서 로그 문제의 마지막에는 늘 "진수 $>0$" 확인이 붙어요.

로그의 성질 ($a>0, a\ne1, M>0, N>0$)

🔑 읽는 법

지수법칙 "곱하면 지수가 더해진다"를 로그 말로 옮긴 것이 "곱의 로그는 로그의 합". 나머지도 마찬가지. 새로 외우는 게 아니라 지수법칙의 번역이에요.

예제 — 하나로 합치기

$\log_3 18+\log_3 6-\log_3 4$ 의 값은?

1합은 곱, 차는 나눗셈: $\log_3\dfrac{18\times6}{4}$.

→ 같은 밑의 로그는 하나로 합친다.

2진수 계산: $\dfrac{108}{4}=27$.

→ $27=3^3$.

3$\log_3 3^3=3$.

→ "3을 몇 제곱하면 27?"

$=3$

🔁 밑 바꾸기 — 예제로 익히기

$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ — 바꾸려는 로그가 위, 원래 밑의 로그가 아래다.
예 — $\log_2 3 = a$ 일 때 $\log_3 16$ 을 $a$ 로 나타내면? 밑을 2로 바꾸면 $\log_3 16 = \dfrac{\log_2 16}{\log_2 3} = \dfrac{4}{a}$.
위아래를 뒤집거나 곱셈으로 쓰면 값이 완전히 달라진다. $a \approx 1.585$ 이므로 $4/a \approx 2.52$ 이고, $3^2 = 9 \lt 16 \lt 27 = 3^3$ 이라 2와 3 사이인 것과 맞는지 대략적인 크기로 검산하는 습관이 안전하다.

🧅 로그가 겹쳐 있으면 — 바깥부터 한 겹씩

$\log_3(\log_2 x) = 1$ 처럼 로그 안에 로그가 있으면 바깥부터 지수 꼴로 바꿔 벗긴다.
① 바깥: $\log_2 x = 3^1 = 3$
② 안쪽: $x = 2^3 = 8$
확인: $\log_2 8 = 3$, $\log_3 3 = 1$ ✓
한 단계마다 지수 꼴로 적어 두면 밑과 지수의 자리를 뒤바꾸지 않는다. 두 밑을 곱하거나(3 × 2 = 6) 한 겹만 벗기고 멈추는 것이 실점 지점이다.

✂️ 로그방정식 3단계 — 마지막은 진수 조건

① 로그의 합은 진수의 곱으로 묶는다 ② 지수 꼴로 바꿔 방정식을 푼다 ③ 진수 조건으로 버린다.
예 — $\log_2(x-3) + \log_2 x = 2$
① $(x-3)x = 2^2 = 4$ ② $x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 4$ 또는 $-1$
③ 진수 조건 $x - 3 \gt 0$ 에서 $x \gt 3$ 이므로 $x = -1$ 은 버린다. 답은 $x = 4$.
③을 빼먹으면 답이 하나 더 붙는다. 조건을 ①보다 먼저 적어 두면 버릴 값이 바로 보인다.

🔢 상용로그 — 자릿수를 세는 눈

밑이 10인 로그를 상용로그라 하고 $\log N$이라 써요. $\log 10=1$, $\log100=2$, $\log1000=3$… 그래서 $\log N$의 정수 부분은 $N$이 몇 자리인지를 알려줘요.

✅ 자릿수 규칙

$N$이 $n$자리 정수 $\Longleftrightarrow n-1\le\log N\lt n$. 즉 자릿수 $=$ ($\log N$의 정수 부분) $+1$.

$\log 2\approx0.3010$ 하나만 알면 $2^{60}$이 몇 자리인지 실제로 곱해 보지 않고도 알 수 있어요. 위 계산기가 실제 값과 비교해 줘요.

2와 3으로 만드는 상용로그표

$N$	분해	$\log N$
2	—	0.3010
3	—	0.4771
4	$2^2$	0.6020
5	$10\div2$	$1-0.3010=0.6990$
6	$2\times3$	0.7781
8	$2^3$	0.9030
9	$3^2$	0.9542
12	$2^2\times3$	1.0791

⚠️ 7은?

7은 2와 3으로 만들 수 없어요. 그래서 문제에서 $\log7$이 필요하면 따로 값을 줘요($\approx0.8451$). 주어진 값만으로 분해되는지 먼저 확인하세요.

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것

지수적 증가는 직관을 배신한다. 두 배씩 30번이면 10억 배. 복리·전염병·기술 발전은 처음엔 느려 보이다가 갑자기 폭발한다.
로그는 큰 수를 사람 크기로 줄여 읽는 눈금이다. 지진 규모·데시벨·pH는 한 칸이 10배(또는 그 근처)다.
$\log 2\approx0.30$. "2의 10제곱이 대략 1000"과 같은 말이고, 컴퓨터가 용량을 1024(=2¹⁰)씩 묶어 세는(KiB·MiB·GiB) 이유다.

💡 인사이트 — 역함수라는 큰 그림

지수함수 $y=a^x$와 로그함수 $y=\log_a x$는 서로 역함수예요(공통수학2의 역함수가 여기서 다시 나와요). 그래서 다음 단원의 그래프는 새로 외울 것이 없어요. $y=x$에 대해 뒤집으면 끝. 그리고 로그 눈금 그래프(가로축이 1, 10, 100…)를 쓰면 지수적 증가가 직선으로 보여요. 주가·인구·감염자 그래프를 볼 때 축을 확인하는 습관이 여기서 시작돼요.

🏠 지수와 로그가 숨어 있는 곳

🌋

지진 규모

규모 1 차이 = 진폭 10배, 에너지 약 32배

🔊

데시벨

10dB 커지면 소리 세기 10배

🧪

pH

pH 1 차이 = 수소이온 농도 10배

☢️

반감기

남은 양 $=\left(\frac12\right)^{t/T}$

💰

복리

원리합계 $=a(1+r)^n$

📷

카메라 스톱

한 스톱 = 빛의 양 2배

🏭 산업과 직업 — 지수와 로그로 먹고사는 사람들

📊

데이터·AI
정보량(비트)은 $\log_2$로 정의되고, 머신러닝의 손실 함수에 로그가 들어간다. 큰 수를 다루는 계산은 로그로 바꿔서 한다.
🎓 데이터사이언스 · 컴퓨터공학 · 통계

💹

금융
복리·할인·연금·대출 상환은 전부 지수 계산. "몇 년이면 두 배?"는 로그 계산.
🎓 경영 · 경제 · 금융공학

🎧

음향·통신
데시벨, 신호 대 잡음비, 옥타브(주파수 2배)까지 소리의 세계는 로그 눈금이다.
🎓 전자공학 · 음향공학

🧬

생명·의학
세균 증식, 약물 농도의 감소, 방사성 연대 측정은 지수 모델. 환자의 pH 관리도 로그.
🎓 생명과학 · 약학 · 의학