Ⅰ. 지수함수와 로그함수

📈 지수함수

처음엔 느리다가 갑자기 폭발하는 곡선

📋 두 배씩 커지는 것의 모양

💥 왜 배우나
두께 0.1mm인 종이를 반으로 접기를 42번 반복하면 두께가 $0.1\text{mm}\times2^{42}\approx44$만 km, 지구에서 달까지의 거리를 넘어요. 물론 실제로는 7~8번 이상 접기 어렵지만, 계산은 사실이에요. 두 배씩 커지는 것은 처음 열 번은 시시하다가(1024배) 스무 번째부터 상상을 넘어요. 이 "처음엔 느리고 나중에 폭발하는 모양"을 함수로 그린 것이 지수함수예요.
🚪 로그가 아직 낯설다면 먼저 → 관문 특강: 지수→로그 완전정복
☢️
러더퍼드와 반감기 (1900년대 초)
러더퍼드는 방사성 물질이 일정한 시간마다 절반씩 줄어든다는 것을 발견했어요. 남은 양이 $\left(\frac12\right)^{t/T}$, 밑이 1보다 작은 지수함수예요. 이 발견은 나중에 화석과 유물의 나이를 재는 탄소 연대 측정이 되었고, 지구의 나이(약 45억 년)를 계산하는 근거가 되었어요.

📈 $y=a^x$ 의 그래프 — 밑이 모양을 정한다

밑 $a$를 움직여 보세요. $a>1$이면 오른쪽으로 갈수록 폭발적으로 커지고, $0\lt a<1$이면 반대로 0에 다가가요. 두 경우 모두 $(0,1)$을 지나고 $x$축에 한없이 가까워지지만 닿지는 않아요(점근선).

밑 $a$2
$a>1$$0\lt a<1$
모양증가 (오른쪽 위로 폭발)감소 (오른쪽으로 0에 접근)
정의역 / 치역실수 전체 / 양수 전체 ($y>0$)
지나는 점$(0,1)$ 항상 · $(1,a)$
점근선$x$축 ($y=0$)
대칭$y=a^x$ 와 $y=\left(\frac1a\right)^x=a^{-x}$ 는 $y$축 대칭
🔑 왜 $y>0$인가
양수를 몇 제곱해도 양수예요. 그래서 그래프는 $x$축 아래로 절대 내려가지 않고, 0에 한없이 가까워질 뿐이에요. 이것이 로그의 "진수는 양수" 조건과 같은 말이에요.
⚖️ 밑도 지수도 다른 수의 대소 — 거듭제곱해서 비교
$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$ 처럼 밑과 지수가 모두 다르면, 지수의 분모의 최소공배수만큼 거듭제곱해 비교한다.
분모 2, 3, 6의 최소공배수는 6이므로 여섯제곱하면 $(\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8$, $(\sqrt[3]{3})^6 = 3^2 = 9$, $(\sqrt[6]{6})^6 = 6$.
$6 \lt 8 \lt 9$ 이므로 $\sqrt[6]{6} \lt \sqrt{2} \lt \sqrt[3]{3}$.
근거는 양수끼리는 거듭제곱해도 대소가 바뀌지 않는다는 것이다. 밑만 보거나 지수만 보고 순서를 매기면 틀린다.

🔁 이동 — 점근선이 따라 움직인다

$y=2^{x-m}+n$: $x$에서 $m$을 빼면 오른쪽으로 $m$, 뒤에 $n$을 더하면 위로 $n$. 점근선도 $y=n$으로 같이 올라가요. 대칭이동은 부호를 바꾸는 거예요.

$m$ (좌우)0
$n$ (상하)0
이동식점근선
$x$축 방향 $m$, $y$축 방향 $n$ 평행이동$y=a^{x-m}+n$$y=n$
$x$축 대칭$y=-a^{x}$$y=0$ (아래로 뒤집힘)
$y$축 대칭$y=a^{-x}=\left(\frac1a\right)^x$$y=0$
원점 대칭$y=-a^{-x}$$y=0$
⚠️ 흔한 실수
$y=2^{x-1}$은 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 1 이동이에요("$x$에서 1을 빼면 오른쪽"). 그리고 $2^{x-1}=\frac12\cdot2^x$ 이므로 "오른쪽 1 이동"과 "$y$를 $\frac12$배"가 같은 그래프예요. 지수함수만의 신기한 성질이에요.
🪞 대칭이동 네 가지 — y = x 까지
$y = a^x$ 를 옮기면
• x축 대칭 → $y = -a^x$ (위아래 뒤집기, 값이 음수)
• y축 대칭 → $y = a^{-x} = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$ (좌우 뒤집기, 증가↔감소)
• 원점 대칭 → $y = -a^{-x}$ (둘 다)
• $y = x$ 대칭 → $y = \log_a x$ (역함수. 점근선도 $y = 0$ 에서 $x = 0$ 으로 바뀐다)
x 자리를 바꾸는 것($-x$)과 앞에 마이너스를 붙이는 것($-a^x$)은 완전히 다른 이동이다.

🧮 지수방정식·부등식 — 밑을 통일하라

지수함수는 일대일이에요(같은 $y$가 두 번 안 나옴). 그래서 밑이 같으면 지수끼리 비교해도 돼요. 밑이 다르면 먼저 통일, 안 되면 치환.

예제 1 — 밑 통일

$4^{x}=2^{x+3}$ 의 해는?
1$4=2^2$ 이므로 $4^x=2^{2x}$.
→ 밑을 2로 통일.
2$2^{2x}=2^{x+3}$ → 밑이 같으니 지수끼리: $2x=x+3$.
→ 지수함수는 일대일.
$x=3$

예제 2 — 치환

$4^{x}-3\cdot2^{x}-4=0$ 의 해는?
1$4^x=(2^x)^2$. $2^x=t\ (t>0)$로 치환: $t^2-3t-4=0$.
→ 밑을 통일한 뒤 반복되는 덩어리를 문자로.
2$(t-4)(t+1)=0$ → $t=4$ 또는 $t=-1$. 그런데 $t=2^x>0$ 이므로 $t=4$.
→ 치환 조건 확인이 핵심.
3$2^x=4=2^2$ → $x=2$.
$x=2$

부등식 — 밑이 1보다 작으면 뒤집는다

✅ 규칙
$a>1$: $a^{f(x)}\lt a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)\lt g(x)$ (증가함수라 방향 유지). $0\lt a<1$: $a^{f(x)}\lt a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)$ (감소함수라 방향 반전).

예제 3 — 최댓값·최솟값

$-1\le x\le2$ 에서 $y=2^{x}+1$ 의 최댓값과 최솟값은?
1밑 $2>1$ → 증가함수. 범위의 양 끝에서 최대·최소.
→ 단조 함수는 끝점만 보면 된다.
2$x=2$: $2^2+1=5$ (최대), $x=-1$: $2^{-1}+1=\dfrac32$ (최소).
최댓값 $5$, 최솟값 $\dfrac32$
📦 치환하면 범위도 함께 바뀐다
$y = 4^x - 2^{x+2} + 5$ 를 $-1 \le x \le 2$ 에서 볼 때, $t = 2^x$ 으로 놓으면 t의 범위도 정해진다: $\dfrac{1}{2} \le t \le 4$.
$4^x = t^2$, $2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4t$ 이므로 $y = t^2 - 4t + 5 = (t-2)^2 + 1$.
꼭짓점 $t = 2$ 가 범위 안에 있으므로 최솟값은 1이다. 꼭짓점이 범위 밖이면 양 끝점을 비교한다.
$t \gt 0$ 이라는 것과, $2^{x+2}$ 의 앞 계수가 $2^2 = 4$ 라는 것이 실점 지점이다.

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것
  1. 70의 법칙: 매년 $r\%$씩 늘면 약 $70\div r$년 뒤 두 배. 연 7% 성장은 10년에 두 배, 연 2%는 35년에 두 배.
  2. 반감기: 일정 시간마다 절반. 약이 몸에서 빠지는 것, 방사능이 줄어드는 것, 카페인이 사라지는 것 전부 밑이 $\frac12$인 지수함수.
  3. 지수적 증가는 초반에 과소평가되고 후반에 과대평가된다. 저축도, 실력도, 전염병도.
💡 인사이트 — 다음 단원과 미적분으로
$y=a^x$를 $y=x$에 대해 뒤집으면 로그함수(다음 단원). 그리고 미적분Ⅱ에서 배우는 특별한 밑 $e\approx2.718$은 "기울기가 자기 자신과 같은" 지수함수예요. 자연의 성장·붕괴가 왜 $e$로 표현되는지는 거기서 만나요. 지금은 "밑이 모양을 정한다"까지.
🏠 지수함수가 그려지는 곳
💰
복리
$a(1+r)^n$ — 이자에 이자
🦠
감염 확산
초기엔 매일 일정 배수
☕
카페인·약물
반감기 약 5시간
🌡️
식는 커피
온도차가 지수적으로 감소
💾
무어의 법칙
2년마다 2배(50년 지속)
📱
바이럴
공유가 공유를 부른다
🏭 산업과 직업
🏦
금융·보험
복리·할인율·연금·보험료 계산의 뼈대. "지금의 100만 원과 10년 뒤 100만 원"을 비교하는 것이 지수 계산.
🎓 경영 · 경제 · 보험계리
🧬
역학·제약
감염 재생산지수, 약물 농도 곡선, 세균 배양은 지수 모델. 투약 간격은 반감기로 정한다.
🎓 의학 · 약학 · 보건학
⚛️
원자력·연대측정
붕괴 곡선으로 폐기물 관리 기간과 유물 나이를 계산.
🎓 원자력공학 · 지질학 · 고고학
🔋
전자·배터리
축전기의 충·방전, 배터리 열화, 신호 감쇠는 지수 곡선.
🎓 전자공학 · 재료공학

🔥 지수함수 퀴즈

문제 1 / 10점수 0 / 10

✅ 정리

항목내용
$y=a^x$$a>1$ 증가 · $0\lt a<1$ 감소 · $(0,1)$ 통과 · 치역 $y>0$ · 점근선 $y=0$
이동$y=a^{x-m}+n$: 점근선 $y=n$ · $y$축 대칭은 $a^{-x}$
방정식밑 통일 → 지수 비교 · 안 되면 $a^x=t\ (t>0)$ 치환
부등식$a>1$ 방향 유지 · $0\lt a<1$ 방향 반전
최대·최소단조함수 → 범위 양 끝 비교
🔑 한 줄 요약
밑이 모양을 정하고, 일대일이라 지수끼리 비교할 수 있다. 밑이 1보다 작으면 부등호를 뒤집는다.

자가 점검

약점 태그

대수:지수함수 그래프대수:지수함수 이동대수:지수방정식대수:지수부등식
➡️ 다음 단원
그래프를 $y=x$에 대해 뒤집으면 → 로그함수. 대수 허브로.