🧊 입체도형 감 잡기
입체도형이 어려운 건 머릿속에서 돌려 봐야 하기 때문이에요. 그런데 요령이 있어요. 펼쳐 보고, 잘라 보고, 세어 보면 평면도형 문제로 바뀌어요. 11·12단원을 한 번에 훑어요.
① 세기(면·모서리·꼭짓점)② 돌리기③ 자르기④ 펼치기⑤ 넓이와 부피
1세기 — 밑면의 변의 수 n 하나로 다 나와요
각기둥과 각뿔의 면·모서리·꼭짓점 개수를 외우지 않아도 돼요. 밑면이 n각형이라는 것만 알면 그림을 보고 셀 수 있어요. 슬라이더로 n 을 바꿔 보세요.
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왜 그런지 세어 봐요 — 각기둥은 밑면이 위아래 2개이고 옆면이 n개라 면이 n + 2, 꼭짓점은 위아래 n개씩이라 2n, 모서리는 위아래 테두리 2n에 기둥 n개를 더해 3n 이에요. 각뿔은 꼭짓점이 하나뿐이라 n + 1 이에요.
⚠ 오일러의 공식으로 점검 — 어떤 다면체든 (꼭짓점) − (모서리) + (면) = 2 예요. 세다가 헷갈리면 이 식에 넣어 확인해 봐요. 위 표에서도 늘 2가 나오는 것을 볼 수 있어요.
함께 생각하기 ①
육각기둥의 모서리는 몇 개일까요? (밑면이 6각형이에요)
개
2돌리기 — 평면도형이 입체가 돼요
평면도형을 직선 하나를 축으로 한 바퀴 돌리면 입체가 생겨요. 이렇게 만든 입체를 회전체라고 해요. 어떤 도형이 어떤 입체가 되는지 눌러서 확인해요.
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회전체는 곡면을 가져요 — 그래서 각기둥·각뿔은 아무리 돌려 만든 것처럼 보여도 회전체가 아니에요. 회전체에는 언제나 둥근 면이 있어요.
3자르기 — 단면은 평면도형이에요
입체를 자르면 자른 자리(단면)는 평면도형이에요. 어디를 어떻게 자르느냐에 따라 모양이 달라져요. 이 단원 최고의 함정이 여기예요.
⚠ 바꿔 말하면 틀려요 — 회전축에 수직으로 자르면 언제나 원, 회전축을 품고 자르면 좌우대칭 도형이에요(원기둥 → 직사각형, 원뿔 → 이등변삼각형, 구 → 원). 이 둘을 바꿔 묻는 문제가 자주 나와요.
4펼치기 — 겉넓이는 전개도의 넓이예요
겉넓이가 어려운 이유는 입체 상태로 세려고 하기 때문이에요. 펼쳐서 평면으로 만들면 그냥 넓이 더하기예요. 슬라이더로 원기둥을 펼쳐 봐요.
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기둥의 옆넓이 = 밑면의 둘레 × 높이 — 펼치면 옆면이 직사각형이 되는데, 그 가로가 바로 밑면의 둘레예요. 원기둥이면 2πr, 각기둥이면 밑면 다각형의 둘레예요.
함께 생각하기 ②
밑면의 반지름이 3, 높이가 5인 원기둥의 옆넓이는 얼마일까요? (π 앞의 수만 적어요)
π
5부피 — 뿔은 기둥의 1/3
기둥의 부피는 밑넓이 × 높이예요. 바닥 모양을 높이만큼 쌓아 올린 셈이니까요. 그런데 뿔은 왜 1/3 일까요? 직접 부어 봐요.
⚠ 원뿔에서 h 와 l 을 헷갈리지 마세요 — 부피에는 높이 h(꼭짓점에서 밑면 한가운데까지), 겉넓이에는 모선 l(꼭짓점에서 밑면 둘레까지)을 써요. l 이 h 보다 언제나 길어요.
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구는 따로 외워요 — 구는 펼칠 수도 자를 수도 없어서 공식을 그대로 기억해요. 겉넓이 4πr2, 부피 4/3 πr3. 겉넓이가 반지름이 같은 원 넓이의 4배라는 점이 기억을 도와줘요.
6유형별 연습 — 네 가지
π 가 들어가는 답은 π 앞의 수만 적어요(예: 12π 이면 12).
1면·모서리·꼭짓점 세기
n 하나로 다 나와요
🔑 핵심 — 각기둥 V=2n, E=3n, F=n+2 · 각뿔 V=n+1, E=2n, F=n+1. 헷갈리면 오일러 공식으로 점검해요.
2기둥의 겉넓이
펼치면 직사각형 하나와 밑면 둘
🔑 핵심 — 겉넓이 = 밑넓이 × 2 + 밑면 둘레 × 높이. 원기둥이면 2πr2 + 2πrh 예요.
3기둥과 뿔의 부피
뿔은 기둥의 1/3
🔑 핵심 — 기둥 = 밑넓이 × 높이 · 뿔 = 그것의 1/3. 밑넓이를 먼저 구하는 것이 순서예요.
4구의 겉넓이와 부피
외워서 바로 쓰는 두 공식
🔑 핵심 — 겉넓이 4πr2, 부피 4/3 πr3. 반지름을 제곱하는지 세제곱하는지만 정확히 하면 돼요.
7실전 총정리 — 유형 섞어서
어떤 유형인지 안 알려드려요. 기둥인가 뿔인가, 겉넓이인가 부피인가를 먼저 확인하고 풀어요.
8마무리 치트시트
🧊 입체도형 한 장 요약
n각기둥꼭짓점 2n · 모서리 3n · 면 n+2
n각뿔꼭짓점 n+1 · 모서리 2n · 면 n+1
오일러꼭짓점 − 모서리 + 면 = 2
회전체직사각형→원기둥 · 직각삼각형→원뿔 · 사다리꼴→원뿔대 · 반원→구
단면축에 수직 → 원 · 축을 품고 → 좌우대칭(원기둥은 직사각형, 원뿔은 이등변삼각형)
기둥겉넓이 = 밑넓이×2 + 둘레×높이 · 부피 = 밑넓이×높이
뿔겉넓이 = 밑넓이 + 옆넓이 · 부피 = 기둥의 1/3
원기둥·원뿔2πr² + 2πrh · πr² + πrl · πr²h · 1/3πr²h
구겉넓이 4πr² · 부피 4/3πr³
⚠ 원뿔부피엔 높이 h, 겉넓이엔 모선 l — 바꿔 쓰지 않기
이어서 볼 곳 — 11단원 다면체와 회전체 · 12단원 겉넓이와 부피 · 11단원 연습 · 12단원 연습