평면도형을 넘어 입체도형으로. 곧은 면만 있는 다면체, 곡면이 있는 회전체.
단원 10에서 원과 부채꼴을 배웠죠. 이제 입체도형이에요. 다면체(polyhedron)는 다각형인 평평한 면들로만 둘러싸인 입체예요. 회전체(solid of revolution)는 평면도형을 한 직선(회전축)으로 한 바퀴 돌려 만든 입체 — 곡면이 있어요.
다면체를 둘러싼 평평한 부분이 면, 두 면이 만나는 선분이 모서리, 모서리가 만나는 점이 꼭짓점이에요. 이 셋 사이엔 오일러의 공식 V − E + F = 2가 항상 성립해요.
각기둥은 V=2n, E=3n, F=n+2. 각뿔은 V=n+1, E=2n, F=n+1. 각뿔대는 각기둥과 V,E,F가 똑같아요 — 차이는 옆면이 직사각형(각기둥)인지 사다리꼴(각뿔대)인지예요.
정다면체는 두 조건을 모두 만족해야 해요 — ① 모든 면이 합동인 정다각형, ② 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 같음. 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360°보다 작아야 입체가 되기 때문에, 정삼각형(3·4·5개)·정사각형(3개)·정오각형(3개) 조합만 가능해서 정사면체·정육면체·정팔면체·정십이면체·정이십면체 5종뿐이에요.
직사각형을 한 변으로 돌리면 원기둥, 직각삼각형을 직각 낀 변으로 돌리면 원뿔, 사다리꼴(직각 2개)을 평행하지 않은 변으로 돌리면 원뿔대, 반원을 지름으로 돌리면 구가 돼요. 각기둥은 회전체가 아니에요 — 회전체는 항상 곡면을 가져요.
회전축에 수직으로 자르면 자른 자리는 항상 원이에요. 회전축을 포함해서 자르면(축단면) 좌우대칭인 도형이 나와요 — 원기둥은 직사각형, 원뿔은 이등변삼각형이에요. 이 둘을 바꿔 말하는 게 시험 단골 함정이에요.
정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
원뿔을 회전축에 수직으로 자르면 이 되지만, 회전축을 포함해 자르면 이등변삼각형이 돼요.
원뿔을 회전축에 수직으로 자르면 원이 돼요. 축단면(이등변삼각형)과는 달라요.
정다면체가 5종뿐인 까닭은, 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360°보다 작아야 입체가 되기 때문이에요.
자기 말로 설명하면 돼요. 똑같지 않아도 괜찮아요.
개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
🧊 입체도형 감 잡기 — 다면체를 세는 법과 회전체를 만드는 법을 그림으로 익혀요