🚪 관문 특강 · 확률과 통계 Ⅰ 경우의 수

🎯 순열·조합 구분 — 질문은 하나, "순서가 중요한가?"

경우의 수 문제가 어려운 이유는 공식이 많아서가 아니에요. 어느 공식을 쓸지를 못 정해서예요. 이 특강은 그 결정을 질문 두 개로 바꿔요. ① 순서가 중요한가? ② 같은 것을 다시 뽑을 수 있나? 이 둘만 답하면 $P$, $C$, 중복순열, 중복조합이 저절로 갈라져요. 세기 3부작의 마지막 편이에요: 중2 경우의 수 → 고1 순열·조합 → 여기.

① P vs C ② 중복 허용 ③ 같은 것 · 최단 경로 ④ 나누고 곱하기

1줄 세우기와 묶기 — 순서를 지우면 몇 개씩 겹치나 (공식 없이)

$n$명 중 $r$명을 뽑아요. 줄 세우기(회장·부회장처럼 자리가 다름)는 AB와 BA가 다른 경우예요. 묶기(대표 2명처럼 자리가 같음)는 AB와 BA가 같은 경우예요. "묶기"를 누르면 같은 묶음이 같은 색으로 합쳐져요. 몇 개씩 겹치는지 세어 보세요.

보이나요? 묶기의 개수는 줄 세우기의 개수를 $r!$로 나눈 것이에요. 뽑힌 $r$명을 줄 세우는 방법이 $r!$가지라서, 그만큼씩 겹치거든요. 그래서 $_nC_r=\dfrac{_nP_r}{r!}$. 조합 공식은 외우는 게 아니라 "겹치는 만큼 나눈다"는 그림이에요.

함께 생각하기 ①

5명 중 3명을 뽑아 줄 세우는 방법은 60가지예요. 같은 3명을 뽑는 "묶기"는 몇 가지일까요?

2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것

네 공식이 전부 두 질문의 답이에요. 순서가 중요한가(있음/없음) × 같은 것을 다시 뽑을 수 있나(불가/허용).

	중복 불가 (한 번 뽑으면 끝)	중복 허용 (다시 뽑아도 됨)
순서 있음	순열 $_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$	중복순열 $_n\Pi_r=n^r$
순서 없음	조합 $_nC_r=\dfrac{_nP_r}{r!}$	중복조합 $_nH_r={}_{n+r-1}C_r$

$_nP_r=n(n-1)\cdots(n-r+1)$ — 자리마다 후보가 하나씩 줄어든다

첫 자리 n가지, 둘째 자리 n−1가지, … r개 자리. 곱의 법칙 그대로.

$_n\Pi_r=n^r$ — 자리마다 후보가 그대로 $n$가지

비밀번호·신호·색칠. 뽑은 것을 되돌려 놓으니 후보가 줄지 않는다.

$_nC_r=\dfrac{_nP_r}{r!}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ — 겹치는 만큼 나눈다

위젯에서 본 그것. 대표 뽑기·선분 개수·부분집합.

$_nH_r={}_{n+r-1}C_r$ — 공 $r$개와 칸막이 $n-1$개를 한 줄로

같은 사탕 r개를 n명에게: ○○|○|○○○ 처럼 그리면 "○와 |의 배열" = 조합. 단원 앱에서 그림으로.

그리고 같은 것이 있는 순열. AABBC를 줄 세우면 5!이 아니에요. 두 A가 자리를 바꿔도 같은 배열이라 $2!$만큼, 두 B도 $2!$만큼 겹쳐요. 그래서 나눠요.

$\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots}$ — 같은 것이 $p$개, $q$개, … 있을 때

최단 경로(→ a개, ↑ b개의 배열)도 이 공식: (a+b)!/(a!b!).

⚠️ 옛 자료에 나오는 원순열(둥근 탁자 앉히기, $(n-1)!$)은 2022 개정 교육과정 범위 밖이에요. 보이면 "지금 배우는 범위가 아니다"로 넘겨도 돼요.

함께 생각하기 ②

숫자 1, 2, 3 을 반복해서 써도 될 때 만들 수 있는 두 자리 자연수는 몇 개?

3결정 트리 — 핵심 도구

문제 문장을 읽고 질문 두 개에만 답해요. 그러면 공식이 나와요. 문장을 바꿔 가며 연습하세요.

Q1. 뽑은 것들의 순서(자리)가 다르면 다른 경우인가?

Q2. 같은 것을 다시 뽑을 수 있나?

두 질문에 답하면 공식과 답이 나와요.

불변 앵커 순서가 있으면 $P$, 없으면 $C$. 다시 뽑을 수 있으면 $\Pi$와 $H$. 질문은 이 둘뿐이다.

이제 숫자로 답하는 연습이에요. 먼저 "순서?"를 속으로 정하고 계산하세요.

4유형별 완전정복

네 유형 모두 결정 트리에서 시작해요. "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 질문으로 가는지 확인하세요.

①

P vs C 판정

순서가 중요한가

핵심 자리 이름이 다르면(회장·부회장, 1등·2등) 순서 있음 → $P$. 자리 이름이 같으면(대표 2명, 선분) 순서 없음 → $C$.

②

중복 허용

Π 아니면 H

핵심 "반복해서 써도", "같은 종류를 여러 개" → 중복 허용. 순서 있으면 $n^r$, 순서 없으면 $_nH_r={}_{n+r-1}C_r$.

③

같은 것이 있는 순열 · 최단 경로

겹치는 만큼 나눈다

핵심 전부 다르다고 치고 $n!$ → 같은 것끼리의 자리 바꿈 $p!\,q!$로 나눈다. 최단 경로는 → 와 ↑ 의 배열.

④

나누고 곱하기

단계는 곱, 갈래는 합, 여사건

핵심 "그리고"(연달아 하는 단계)는 곱, "또는"(서로 다른 갈래)은 합. "적어도 하나"는 전체에서 반대를 뺀다.

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 순서? 중복?부터 정하세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

🎯 경우의 수 한 장 요약

질문 1순서가 중요한가? 있음 → P · 없음 → C

질문 2다시 뽑을 수 있나? 허용 → Π(순서 있음) · H(순서 없음)

공식$_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ · $_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}$ · $_n\Pi_r=n^r$ · $_nH_r={}_{n+r-1}C_r$

같은 것$\frac{n!}{p!q!}$ · 최단 경로 $\frac{(a+b)!}{a!b!}$

합·곱단계는 곱, 갈래는 합 · "적어도" = 전체 − 반대

한 문장공식을 고르는 게 아니라 질문에 답하는 것

📌 어른이 되어도 기억할 것

"순서가 중요한가?"는 수학 밖에서도 쓰는 질문이에요. 비밀번호(순서 있음)와 로또(순서 없음)가 같은 6개 숫자로 얼마나 다른 개수인지가 여기서 갈려요.
조합은 겹치는 만큼 나눈 것. 세는 문제의 절반은 "몇 번씩 겹치나"를 찾는 문제예요.
경우의 수는 폭발한다. 10개를 줄 세우면 약 363만, 20개면 243경. 컴퓨터가 "모든 경우를 다 보기"를 못 하는 이유이자, 암호가 안전한 이유예요.

💡 세기 3부작의 완결, 그리고 확률로

중2에서 나열해 세고, 고1에서 $P$·$C$ 공식을 배우고, 여기서 어느 공식인지 고르는 법을 익혔어요. 확률은 "전체 경우 중 원하는 경우의 비율"이라서, 세기가 정확해야 확률도 정확해요. 다음 단원부터 이 도구가 분모와 분자에 들어가요.

🏠 이미 보고 있던 곳

비밀번호 자릿수와 조합 수(중복순열), 로또 1등 확률의 분모 $_{45}C_6=8{,}145{,}060$(조합), 메뉴 조합·토핑 고르기(중복조합), 4명이 앉는 자리 배치(순열), 지도 앱의 격자 도시 최단 경로(같은 것이 있는 순열).

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

보안 엔지니어(암호 키 공간 크기), 통계학자·데이터 과학자(표본 뽑기 = 조합), 물류·스케줄링(배치 경우의 수와 최적화), 게임 디자이너(카드·아이템 조합 확률), 유전학(염기 배열 = 중복순열). 🎓 컴퓨터공학 · 통계학 · 산업공학 · 생명과학

단원 앱으로 이어서 → 여러 가지 순열 · 중복조합과 이항정리 · 토대 복습 고1 순열과 조합

관문 특강 · 순열·조합 구분 · 확률과 통계 · 표준 커리큘럼 제작