🌳 경우의 수 세는 법
"동전 세 개를 던지면 몇 가지가 나올까요?" 6? 8? 감으로 세면 꼭 하나씩 빠지거나 겹쳐요. 그건 머리가 나빠서가 아니라 세는 순서가 없어서예요. 이 특강은 딱 하나를 연습해요 — 나열하고, 수형도로 정리하고, 그다음에 법칙으로 확인하기. 먼저 직접 세어 볼까요?
① 곱의 법칙② 합의 법칙③ 한 줄로 세우기④ 정수 만들기⑤ 대표 뽑기
1감 잡기 — 빠뜨리지 않고 직접 나열해 보기
먼저 법칙 없이 손으로 세어 봐요. 아래에서 경우를 하나 만들어 추가를 누르세요. 전부 찾으면 알려 드릴게요. (이미 찾은 경우를 또 넣으면 "겹쳤다"고 알려 줘요 — 그게 감으로 셀 때 생기는 실수예요.)
전부 찾았나요? 아마 "첫 번째 것을 고정하고 두 번째 것을 차례로" 바꾸는 순서가 생겼을 거예요. 그 순서를 그림으로 그린 게 다음에 나오는 수형도예요.
2수형도 — 가지가 자라는 걸 보면 셈이 보여요
상의 3벌과 하의 2벌. "빨강 상의를 입으면 하의는 2가지, 파랑 상의를 입어도 2가지, 노랑도 2가지." 가지가 뻗는 걸 ▶ 재생으로 보세요. 맨 오른쪽 끝(잎)의 개수가 경우의 수예요.
가지가 3묶음 × 2개씩이니까 잎은 3 × 2 = 6개예요. 수형도는 "나열"을 빠뜨림 없이 정리한 그림이고, 곱셈은 그 그림을 한 줄로 줄인 거예요. 그래서 공식은 외우는 게 아니라 그림에서 읽는 거예요.
함께 생각하기 ①
김밥 4종류, 음료 3종류 중 하나씩 고르는 경우의 수는 몇 가지일까요? (수형도를 머릿속에 그려 봐요 — 김밥 하나마다 음료 가지가 몇 개?)
가지
3"그리고"는 곱하기, "또는"은 더하기
경우의 수 문제는 결국 두 문장 중 하나예요. 잇따라·동시에 일어난다("그리고")면 수형도 가지가 곱해지고, 둘 중 하나만 일어난다("또는")면 두 목록을 나란히 놓고 더해요. 문장을 읽고 골라 보세요.
⚠ 함정 — "또는"이라도 겹치는 경우가 있으면 그냥 더하면 안 돼요. 예를 들어 1~10 중 "2의 배수 또는 3의 배수"는 6이 양쪽에 다 들어 있어요. 이 특강에서는 겹치지 않는 경우만 다루지만, 더하기 전에 "겹치나?" 한 번 묻는 습관을 들여요.
"또는"을 셀 때 가장 좋은 도구는 주사위 두 개 표예요. 가로 6 × 세로 6 = 36칸(곱의 법칙!)에서 조건에 맞는 칸을 색칠하면 빠뜨릴 수가 없어요. 조건을 골라 보세요.
🌳불변 앵커 — 세는 순서는 언제나 같아요: 나열 → 조직화(수형도·표) → 법칙. 법칙부터 쓰면 "곱할까 더할까"에서 헷갈려요. 작은 경우를 두세 개만 나열해 보면 어느 쪽인지 그림이 알려 줘요. 이 한 문장이 이 특강 전체예요.
4유형별 완전정복
시험에 나오는 건 5가지 유형이에요. 각 카드는 그림 → 식 → 답 → 풀이 순서고, 풀이는 언제나 나열 → 조직화 → 법칙 세 단계로 써 줘요. "다른 문제로"를 누르면 새 숫자가 나와요.
①곱의 법칙
잇따라 고르기 — 옷·길·메뉴·동전과 주사위
핵심 첫 번째 선택 하나마다 두 번째 선택이 전부 따라와요. 그래서 (첫 번째 가짓수) × (두 번째 가짓수)예요. 세 번 고르면 세 개를 곱해요.
②합의 법칙
"또는" — 두 목록을 나란히 놓고 더하기
핵심 한 번에 하나만 일어나는 두 사건("합이 4 또는 5")은 각각 세어서 더해요. 더하기 전에 "겹치는 게 있나?"를 꼭 확인해요.
③한 줄로 세우기
자리마다 상자를 그리고, 남은 사람 수를 적어요
핵심 첫 자리에 n명, 둘째 자리에는 한 명이 빠졌으니 (n−1)명, … 곱해요. "이웃해서"는 두 사람을 한 묶음으로 묶고, 묶음 안의 순서 2가지를 마지막에 곱해요.
④정수 만들기
카드로 두 자리·세 자리 수 — 조건 있는 자리부터
핵심 자리마다 상자를 그려요. 0은 맨 앞자리에 못 와요. 짝수·30 이상처럼 조건이 붙은 자리를 먼저 정하고, 남은 카드 수를 다음 상자에 적어요.
⑤대표 뽑기
자격이 다르면 그대로, 같으면 나누기
핵심 회장·부회장처럼 자격이 다르면 한 줄 세우기와 같아요(n × (n−1)). 대표 2명처럼 자격이 같으면 (A, B)와 (B, A)가 같은 뽑기니까 2로 나눠요. 3명이면 6으로 나눠요.
5실전 총정리 — 유형 섞어서
이번엔 어떤 유형인지 안 알려 드려요. 문장을 읽고 "그리고인지 또는인지", "자격이 같은지"를 먼저 정한 다음 풀어 봐요. 틀리면 어느 유형인지 알려 드릴게요.
6마무리 치트시트
🌳 경우의 수 한 장 요약
세는 순서는 언제나 같아요나열 → 수형도·표로 조직화 → 법칙으로 확인
그리고 = 곱하기 · 또는 = 더하기더하기 전에 "겹치나?" 한 번 확인
① 곱의 법칙a × b (× c) · 첫 선택 하나마다 다음 선택이 전부 따라와요
② 합의 법칙a + b · 주사위 두 개는 6×6 표에 색칠
③ 한 줄 세우기n × (n−1) × … · 이웃은 한 묶음으로 묶고 ×2
④ 정수 만들기조건 있는 자리부터 · 0은 맨 앞에 못 와요
⑤ 대표 뽑기자격 다르면 n(n−1) · 같으면 ÷2 (3명은 ÷6)
확률로 가는 다리확률 = (그 경우의 수) ÷ (전체 경우의 수)
여기까지 왔으면 이제 11단원 확률 문제로 가 봐요 — 유형1 경우의 수 문제로 가기 →
개념 페이지에서 확률의 뜻까지 이어서 보려면 — 11단원 확률 개념