카페에서 3종류 음료를 4잔 주문해요. 같은 걸 여러 잔 시켜도 되고 순서는 상관없어요. 몇 가지 주문이 가능할까요? 나열하면 15가지인데, 공식 $_3H_4$로 바로 나와요. 비밀은 공 4개와 칸막이 2개를 한 줄로 세우는 것. 그리고 $(a+b)^{10}$을 전개하면 $a^3b^7$의 계수는? 곱셈을 열 번 할 필요 없이 $_{10}C_3=120$. 열 개의 괄호 중 $a$를 꺼낼 괄호 3개를 "고르는" 조합이니까요. 세는 것과 전개하는 것이 같은 일이라는 걸 배우는 단원이에요.
이항계수를 삼각형으로 배열한 "파스칼의 삼각형"은 사실 파스칼보다 수백 년 앞서 중국(양휘, 13세기)과 페르시아 수학자들도 알고 있었어요. 파스칼이 1654년 「산술 삼각형론」에서 그 성질을 체계적으로 증명하고 확률 문제에 연결해서 이름이 붙었어요. 같은 해 페르마와 주고받은 편지가 확률론의 출발점으로 꼽혀요.
⚪ 중복조합 — 공 $r$개와 칸막이 $n-1$개
$n$종류에서 중복을 허락해 $r$개를 고르는 것은, 종류별로 몇 개씩 고르느냐를 정하는 것과 같아요. 그 "몇 개씩"을 공 $r$개를 칸막이 $n-1$개로 나눈 그림으로 그리면, 그림의 개수 = 공과 칸막이의 배열 수 = 조합이에요. 버튼으로 무작위 배열을 뽑아 보세요.
종류 $n$3
고르는 수 $r$4
✅ 중복조합
서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 경우의 수 $_nH_r={}_{n+r-1}C_r$. 공 $r$개와 칸막이 $n-1$개, 합쳐서 $n+r-1$개 자리 중 공(또는 칸막이)의 자리를 고르는 조합.
방정식 $x+y+z=6$ 을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수는? 양의 정수해의 개수는?
1공 6개를 $x, y, z$ 세 칸에 나누기 = 3종류에서 중복 허락 6개 → $_3H_6={}_8C_6={}_8C_2=28$.
2양의 정수해: 먼저 $x, y, z$에 1개씩 주고(3개 소모) 남은 3개를 중복조합 → $_3H_3={}_5C_3=10$.
→ "적어도 1개"는 미리 하나씩 나눠 주고 나머지를 센다.
$28$개 · 양의 정수해 $10$개
$(x+y+z)^5$ 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는?
1각 항은 $x^ay^bz^c$ ($a+b+c=5$, 음이 아닌 정수). 그 개수 = $_3H_5$.
2$_3H_5={}_7C_5={}_7C_2=21$.
$21$개
⚠️ $H$의 첨자
$_nH_r$에서 $n$은 종류의 수, $r$은 고르는 개수. $r$이 $n$보다 커도 돼요(3종류 음료 4잔). $C$로 바꿀 때는 $_{n+r-1}C_r$: 위 첨자는 $n+r-1$, 아래는 $r$ 그대로.
🔺 이항정리 — 계수는 "고르기"다
$(a+b)^n$은 괄호 $n$개의 곱. 각 괄호에서 $a$ 또는 $b$ 하나씩 꺼내 곱하니까, $a^{n-r}b^r$이 되는 방법은 $b$를 꺼낼 괄호 $r$개를 고르는 $_nC_r$가지예요. 아래 삼각형의 줄을 눌러 전개식을 보세요.
✅ 이항정리
$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}{}_nC_r\,a^{n-r}b^r$. 일반항 $_nC_r\,a^{n-r}b^r$. 파스칼의 삼각형: 각 수는 바로 위 두 수의 합 ($_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r={}_nC_r$).
$(1+x)^m(1+ax)^n$ 처럼 두 식의 곱에서 $x^k$ 의 계수를 물으면, 지수의 합이 $k$ 가 되는 모든 짝을 빠짐없이 더한다. 예 — $(1+x)^3(1+3x)^2$ 에서 $x^2$ 의 계수는? ① 각각 전개: $(1+x)^3=1+3x+3x^2+\cdots$, $(1+3x)^2=1+6x+9x^2$ ② 지수의 짝 $(0,2),(1,1),(2,0)$ 을 표로 적는다: $1 imes9=9$ · $3 imes6=18$ · $3 imes1=3$ ③ $9+18+3=30$ 확인 — 실제로 곱해 보면 $1+9x+30x^2+\cdots$ ✓ ⚠️ 밑이 다르면 지수를 합칠 수 없다. $(1+x)^3(1+3x)^2$ 을 $(1+3x)^5$ 로 보고 $_5C_2\cdot3^2=90$ 이라 하면 틀린다. 각 식의 계수를 따로 구한 뒤 짝지어 더한다.
➖ 앞쪽 항에 계수·부호가 있으면 그것도 거듭제곱된다
$(a+b)^n$ 의 $a$ 자리에 $2x$ 가, $b$ 자리에 $-1$ 이 들어가도 규칙은 그대로다. 다만 계수와 부호도 지수만큼 곱해진다는 것을 잊기 쉽다. 예 — $(3x-1)^4$ 에서 $x^2$ 의 계수는? ① 일반항 $_4C_r(3x)^{4-r}(-1)^r$ → $x$ 의 지수는 $4-r$ 이므로 $4-r=2$, 즉 $r=2$ ② $_4C_2 imes3^2 imes(-1)^2=6 imes9 imes1=54$ 확인 — $x=1$ 을 넣으면 $(3-1)^4=16$ 이어야 하는데 계수를 모두 더하면 $81-108+54-12+1=16$ ✓ ⚠️ 세 가지를 한꺼번에 챙긴다 — 조합 기호 · 앞쪽 계수의 거듭제곱 · 부호. $(-1)^r$ 은 $r$ 이 홀수면 음수다. 하나라도 빠뜨리면 값이 배수만큼 어긋나거나 부호가 뒤집힌다.
🧮 이항계수의 성질 — 삼각형 한 줄의 합은 $2^n$
이항정리에 $a=b=1$을 넣으면 한 줄의 합이 $2^n$. $a=1, b=-1$을 넣으면 교대로 더하고 뺀 값이 0. 이 두 대입이 성질의 전부예요. 줄을 골라 확인해 보세요.
동전을 $n$번 던져 앞면이 $r$번 나오는 경우의 수가 $_nC_r$이고, 그래서 그 확률이 $_nC_r\left(\frac12\right)^n$이에요. 파스칼의 삼각형 한 줄을 그래프로 그리면 종 모양이 되고, 그것이 이항분포이며, $n$이 커지면 정규분포가 돼요. 이 단원의 삼각형이 통계 단원의 종 모양으로 이어져요.
🏠 중복조합·이항계수가 보이는 곳
☕
음료 주문
3종류 4잔 = ₃H₄ = 15
🍕
토핑 고르기
n가지 토핑의 조합 = 2ⁿ
💰
예산 배분
정수해 개수 = 공과 칸막이
🎲
동전 n번
앞면 r번의 경우 = ₙCᵣ
🧬
유전 형질
멘델 비율 1:2:1이 (a+b)²
🔺
당구·볼링 핀
삼각수는 삼각형의 세 번째 대각선
🏭 산업과 직업
🖥️
알고리즘·소프트웨어 부분집합 $2^n$·조합 $_nC_r$의 크기를 아는 것이 "이 문제를 전부 탐색할 수 있나"의 첫 판단. 조합 폭발을 피하는 설계가 프로그래머의 일상. 🎓 컴퓨터공학
📊
통계·데이터 이항계수는 이항분포의 뼈대. 여론조사·품질 검사·임상 결과가 전부 "n번 중 r번"의 확률로 계산된다. 🎓 통계학 · 데이터과학
🧪
화학·재료 같은 원자를 여러 개 고르는 배치(중복조합)가 분자 구조·합금 조성의 경우의 수를 결정한다. 🎓 화학 · 신소재공학
🔥 중복조합과 이항정리 퀴즈
문제 1 / 10점수 0 / 10
✅ 정리
항목
내용
중복조합
$_nH_r={}_{n+r-1}C_r$ · 공 $r$개 + 칸막이 $n-1$개 · 정수해 개수
이항정리
$(a+b)^n=\sum{}_nC_r\,a^{n-r}b^r$ · 일반항으로 특정 항의 계수·상수항