🎯 조합 — 순서는 무관
✅ 조합 (Combination)
서로 다른 $n$ 개에서 순서 없이 $r$ 개를
뽑기만 하는 경우의 수:
$$_{n}C_{r} = \frac{_{n}P_{r}}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$
순열을 $r!$ (뽑은 것들의 나열 수)로 나눈 것.
🔎 순열 vs 조합 — 같은 5명, 3명 뽑기
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1·2·3등 정하기(순서 O) → 순열 $_{5}P_{3} = 60$
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대표 3명 뽑기(순서 X) → 조합 $_{5}C_{3} = \dfrac{60}{3!} = \dfrac{60}{6} = 10$
같은 3명이라도 순서를 따지면 $3! = 6$ 배 많아진다. 위 계산기로 확인하자.
🔑 성질
$_{n}C_{r} = {}_{n}C_{n-r}$ (뽑는 것 = 안 뽑는 것 고르기). 예: $_{5}C_{3} = {}_{5}C_{2} = 10$.
🎬 뽑아서 나열하기 — 조합 × 계승
"뽑아서 한 줄로 세운다"는 두 단계로 나눠
곱한다.
남학생 4명 중 2명, 여학생 3명 중 1명을 뽑아 세우면
① 뽑기: $_{4}C_{2} \times _{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$ (뽑을 때는 자리 구분이 없으므로 조합)
② 세우기: 뽑은 3명을 줄 세우는 $3! = 6$
→ $18 \times 6 = 108$.
뽑는 단계에서 미리 순서를 따지면(순열로 뽑으면) 두 번 세게 된다.
📌 반드시 포함·반드시 제외
특정한 사람 A가
반드시 포함되어야 하면, A를 먼저 앉히고 남은 자리를 센다. 이때
뽑을 사람 수도 하나 줄어든다.
6명 중 4명을 뽑되 A가 꼭 들어가야 하면 $_{5}C_{3} = 10$ (남은 5명 중 3명).
반대로 A가
반드시 빠져야 하면 A를 지우고 $_{5}C_{4} = 5$.
검산: 전체 $_{6}C_{4} = 15$ 에서 A가 빠지는 5를 빼면 10으로 같다.
🚪 '적어도 하나' — 전체에서 하나도 없는 경우를 뺀다
남학생 5명, 여학생 4명 중 3명을 뽑을 때
여학생이 적어도 1명 들어갈 경우의 수는?
여학생 1명·2명·3명을 각각 세도 되지만,
전체 − (여학생이 한 명도 없는 경우) 가 훨씬 빠르다.
$_{9}C_{3} - {}_{5}C_{3} = 84 - 10 = 74$.
빼는 대상이 무엇인지 한 줄로 적고 시작하면, 구하는 것과 여사건을 뒤바꾸지 않는다. (직접 세도 $40 + 30 + 4 = 74$ 로 같다.)
🎁 같은 개수로 나누어 주기 — 받는 쪽이 구분되는가
서로 다른 6권을
두 사람 A, B에게 3권씩 주면? A가 받을 3권을 고르는 순간 B의 3권도 정해지므로 $_{6}C_{3} = 20$ —
더 곱할 것이 없다.
반면 사람 없이
그냥 두 묶음으로만 가르면 두 묶음의 순서가 없으므로 $20 \div 2 = 10$.
받는 쪽이 구분되는지 먼저 확인한다. 같은 크기의 묶음이 $k$ 개면 $k!$ 로 나눈다.