아침에 10℃였던 기온이 낮에 20℃가 됐다면, 그 사이 어느 순간엔 정확히 15℃였을 거예요. 당연해 보이죠? 그런데 이 "당연함"은 기온이 끊기지 않고 변한다(연속)는 가정에서만 성립해요. 주가처럼 갑자기 뛰는 것에는 성립하지 않아요. "끊기지 않는다"를 정확히 말하고, 거기서 "반드시 지나간다"(사잇값 정리)를 끌어내는 것이 이 단원이에요. 방정식에 해가 있는지 계산 없이 아는 방법이기도 해요.
프라하의 수학자이자 신부였던 볼차노는 1817년, "연속함수가 어떤 구간에서 부호가 바뀌면 그 사이에 0이 되는 점이 있다"(사잇값 정리)를 그림에 기대지 않고 증명했어요. 그림으로는 당연해 보이는 것을 말로 증명하려면 먼저 "연속"이 무엇인지 정의해야 했고, 그것이 현대 해석학의 출발이 됐어요.
🔗 연속의 뜻 — 세 가지 확인
함수를 고르면 $x=1$에서 세 조건을 하나씩 확인해요. 셋 다 통과해야 $x=1$에서 연속이에요. 어느 하나라도 실패하면 불연속.
ⓘ $f(1)$이 정의된다
ⓘⓘ $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)$가 존재한다
ⓘⓘⓘ $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$
✅ 정의
함수 $f$가 $x=a$에서 연속 ⟺ ⓘ $f(a)$가 정의되고 ⓘⓘ $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$가 존재하며 ⓘⓘⓘ $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. 세 조건을 한 줄로 쓰면 "극한값 = 함숫값". 정의역의 모든 점에서 연속이면 연속함수.
🔑 읽는 법
연속은 "다가간 곳(극한)에 실제로 점이 찍혀 있다(함숫값)"예요. 구멍은 점이 없거나 딴 데 있는 것, 점프는 다가가는 곳이 좌우로 다른 것. 그래서 불연속은 늘 셋 중 하나가 깨진 거예요.
연속이 되도록 상수 정하기
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2} & (x\ne2)\\ k & (x=2)\end{cases}$ 가 $x=2$에서 연속일 때 $k$는?
1극한: $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to4$.
2연속 ⟺ 극한값 = 함숫값 → $k=4$.
→ 구멍을 정확히 메우는 값.
$k=4$
🔨 구멍 메우기 두 가지 — 유리화와 조각함수
① 근호가 든 구멍 — 인수분해가 안 되면 켤레를 곱해 유리화한다. $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4}\ (x\ne4)$, $f(4)=a$ 가 연속이려면? 분모·분자에 $\sqrt{2x+1}+3$ 을 곱하면 $\dfrac{(2x+1)-9}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}=\dfrac{2(x-4)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}=\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+3}$ → $x=4$ 에서 $\dfrac26=\dfrac13$. 따라서 $a=\frac13$. ⚠️ 분자의 계수를 챙긴다. 근호 안이 $2x+1$ 이면 차가 $2(x-4)$ 로 나와 약분 뒤 2 가 남는다.
② 조각으로 나뉜 함수 — 경계에서 세 줄을 각각 적는다. $f(x)=\begin{cases}x^2+ax & (x\lt2)\\ x+6 & (x\ge2)\end{cases}$ 가 $x=2$ 에서 연속이려면? 좌극한 $=4+2a$ · 우극한 $=8$ · 함숫값 $f(2)=8$ 셋이 같아야 하므로 $4+2a=8$ → $a=2$. 부등호에 등호가 어느 쪽에 붙었는지가 함숫값을 정한다. 좌극한은 그 식에 경계값을 넣어 구하는 것이지, 경계보다 작은 아무 수를 넣는 것이 아니다.
닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가져요. 열린 구간이면 끝점에 다가가기만 하고 닿지 않아 최댓값이 없을 수 있어요. 구간을 바꿔 보세요.
✅ 최대·최소 정리
$f$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이면 $f$는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. (열린 구간이거나 불연속이면 보장되지 않음.)
⚠️ 흔한 실수
"연속이면 최댓값이 있다"가 아니라 "닫힌 구간에서 연속이면". $y=x$는 $(0,1)$에서 연속이지만 최댓값이 없어요(1에 닿지 않음).
📍 닫힌 구간의 최대·최소는 어디서 나는가
최대·최소 정리는 있다는 것만 보장한다. 실제로 찾으려면 후보를 다 비교한다. $$\text{후보} = \text{양 끝점} + \text{구간 안의 꼭짓점(또는 기울기가 0 인 점)}$$ 예 — $f(x)=x^2-2x$, 구간 $[0,3]$ ① $f(x)=(x-1)^2-1$ 이므로 꼭짓점은 $x=1$ 이고 구간 안에 있다 → 최솟값 $-1$ ② 끝점 $f(0)=0$, $f(3)=3$ → 최댓값 $3$ ③ 합은 $3+(-1)=2$ ⚠️ 꼭짓점이 구간 밖이면 그 구간에서 함수가 한 방향으로만 변하므로 끝점 두 개만 비교하면 된다. 아래로 볼록한 이차함수에서 "최대·최소는 늘 끝점"이라고 외우면 꼭짓점이 안에 있을 때 최솟값을 놓친다. 미적분Ⅱ의 최대·최소 문제도 뼈대가 같다 — 후보를 모으고, 값을 다 계산해 비교한다.
🧮 사잇값 정리 — 계산 없이 "해가 있다"
연속함수가 $f(a)$에서 $f(b)$로 가면 그 사이의 모든 값을 반드시 한 번은 지나요. 특히 부호가 바뀌면 0을 지나니까, 방정식 $f(x)=0$의 해가 그 사이에 있어요. 구간을 움직여 보세요.
구간 $[a, a+1]$의 $a$0
✅ 사잇값 정리
$f$가 $[a,b]$에서 연속이고 $f(a)\ne f(b)$이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 임의의 값 $k$에 대해 $f(c)=k$인 $c$가 $(a,b)$에 적어도 하나 존재한다. 따름정리: $f(a)f(b)\lt0$이면 $f(x)=0$의 실근이 $(a,b)$에 적어도 하나 있다.
방정식 $x^3-3x+1=0$ 은 $0$과 $1$ 사이에 실근을 갖는가?
1$f(x)=x^3-3x+1$은 다항함수 → 연속.
2$f(0)=1\gt0$, $f(1)=1-3+1=-1\lt0$ → 부호가 바뀐다.
사잇값 정리에 의해 $(0,1)$에 실근이 적어도 하나 있다 (근을 구하지 않고!)
$f(x)=x^2-2$ 에 대해 $f(1)=-1$, $f(2)=2$. 방정식 $x^2-2=0$의 근 $\sqrt2$는 정말 $(1,2)$에 있나?
1부호가 바뀌므로 $(1,2)$에 근 존재. 실제로 $\sqrt2\approx1.414$.
2구간을 반으로 쪼개면(이분법) $f(1.5)=0.25\gt0$ → 근은 $(1,1.5)$에. 반복하면 원하는 만큼 정확해진다.
→ 컴퓨터가 방정식을 푸는 방법 중 하나.
있다 — 그리고 이분법으로 좁혀 갈 수 있다
⚠️ 역은 성립하지 않는다
$f(a)f(b)\gt0$이라고 해서 근이 없는 게 아니에요($x^2-1$은 $f(-2)f(2)\gt0$이지만 근이 둘). 정리는 "부호가 바뀌면 있다"만 말해요.
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
연속 = 극한값이 함숫값. 구멍도 점프도 없다. 자연의 대부분(온도·위치·압력)은 연속, 사람이 만든 것(주가 갭·계단 요금·디지털 신호)은 불연속이 많다.
사잇값 정리: 끊기지 않고 변하면 중간값을 반드시 지난다. "해가 있다"를 계산 없이 아는 도구이고, 컴퓨터가 방정식을 푸는 이분법의 근거.
닫힌 구간에서 연속이면 최대·최소가 있다. 최적화 문제에서 "답이 존재한다"를 보장하는 정리.
💡 인사이트 — 다음 단원으로
미분이 가능하려면 먼저 연속이어야 해요("미분가능 ⇒ 연속"). 그런데 연속이어도 미분이 안 되는 점이 있어요 — 절댓값 함수의 뾰족점처럼. 다음 단원 미분계수와 도함수에서 그 차이가 핵심이에요. 그리고 사잇값 정리는 미분 단원의 평균값 정리, 적분 단원의 정적분 존재로 이어져요.
🏠 연속과 불연속이 보이는 곳
🌡️
기온
연속 → 중간값을 반드시 지남
📈
주가 갭
장 마감 후 점프 (불연속)
🚕
택시 요금
거리마다 계단식 (점프)
🎞️
영상
프레임(불연속)을 연속처럼
🗺️
등고선
높이가 연속이라 선이 이어짐
⚖️
저울
무게 변화는 연속, 눈금은 불연속
🏭 산업과 직업
💻
수치해석·소프트웨어 이분법·뉴턴법으로 방정식 풀기, 연속 조건으로 곡선을 매끈하게 잇기(CAD·폰트). 🎓 컴퓨터공학 · 응용수학
🏗️
구조·제어 하중·온도·압력은 연속 모델. "어느 지점에서 허용치를 넘는가"는 사잇값 정리의 응용. 🎓 기계·토목공학
💹
금융 연속 시간 모델과 점프 모델(갭)을 구분하는 것이 파생상품 가격 이론의 출발. 🎓 금융공학 · 경제학
🔥 함수의 연속 퀴즈
문제 1 / 10점수 0 / 10
✅ 정리
항목
내용
연속 (점)
$f(a)$ 존재 · 극한 존재 · 둘이 같다 = "극한값 = 함숫값"
연속함수
정의역 모든 점에서 연속 · 다항함수는 항상, 유리함수는 분모≠0
성질
연속 ± × ÷(분모≠0) 연속
최대·최소 정리
닫힌 구간에서 연속 → 최대·최소 존재
사잇값 정리
$f(a)f(b)\lt0$ → $(a,b)$에 실근 존재
🔑 한 줄 요약
연속은 "극한값 = 함숫값". 닫힌 구간에서 연속이면 최대·최소가 있고, 부호가 바뀌면 그 사이에 해가 있다.