🚪 관문 특강 · 미적분Ⅰ Ⅰ 함수의 극한과 연속

🔍 극한 — "가까워진다"의 감각

극한 기호 $\lim$을 보면 "그래서 값이 뭔데?"부터 묻게 되죠. 그런데 극한은 도착이 아니라 방향이에요. $x$가 2에 다가갈 때 $f(x)$가 어디로 모이는가를 묻는 것이지, 2에서의 값을 묻는 게 아니에요. 그 자리에 구멍이 뚫려 있어도 상관없어요. 이 감각 하나가 미분과 적분 전체의 문이에요. 그래프를 무한히 줌인하면서 몸으로 익혀요.

① 좌·우극한 ② 0/0 꼴 ③ ∞/∞ 꼴 ④ 연속·미정계수

1구멍이 뚫린 그래프에 다가가기 (공식 없이)

$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$는 $x=2$에서 $\dfrac00$이라 값이 없어요. 그래프에 구멍이 있죠. 그런데 슬라이더로 양쪽에서 2에 다가가 보세요. 값이 어디로 모이나요? 줌인을 아무리 해도 구멍은 남지만, 방향은 분명해요.

"점프" 버튼을 눌러 보세요. 이번엔 왼쪽에서 다가가면 1, 오른쪽에서 다가가면 2로 모여요. 양쪽이 다른 곳으로 모이면 극한은 없어요. 극한이 있다는 건 왼쪽과 오른쪽이 같은 곳으로 모인다는 뜻이에요.

함께 생각하기 ①

$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ 의 값은? (위 표에서 양쪽이 모이는 곳)

2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것

정의부터. "$x$가 $a$에 한없이 가까워질 때($a$는 아님) $f(x)$가 $L$에 한없이 가까워진다"를 이렇게 써요.

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$

a에서의 값 f(a)와는 무관. 정의되지 않아도, 다른 값이어도, 극한은 "다가갈 때 모이는 곳".

왼쪽에서 다가가는 것과 오른쪽에서 다가가는 것을 따로 적을 수 있어요. 둘이 같아야 극한이 있어요.

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L \Longleftrightarrow \lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=L$

a− 는 왼쪽(작은 쪽)에서, a+ 는 오른쪽(큰 쪽)에서. 점프가 있으면 극한 없음.

극한은 사칙연산과 사이좋아요. 각각 수렴하면 합·차·곱·몫의 극한은 극한의 합·차·곱·몫이에요(몫은 분모의 극한이 0이 아닐 때). 그래서 대입해서 계산되면 그게 극한값이에요. 다항함수는 어디서나 그냥 대입.

$\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g,\quad \lim fg=\lim f\cdot\lim g,\quad \lim\dfrac fg=\dfrac{\lim f}{\lim g}\ (\lim g\ne0)$

문제가 되는 것은 대입하면 0/0, ∞/∞ 처럼 "정해지지 않는 꼴"이 나올 때뿐.

$\dfrac00$ 꼴은 구멍을 메우는 것이에요. 분자·분모에 공통으로 0이 되는 인수가 숨어 있으니 인수분해(또는 유리화)해서 약분하면 구멍이 사라지고 대입할 수 있어요. $\dfrac\infty\infty$ 꼴은 누가 더 빨리 커지나의 싸움이라 최고차항만 보면 돼요.

$\dfrac00$: 인수분해·유리화 후 약분 · $\dfrac\infty\infty$: 최고차항으로 나누기 · $\infty-\infty$: 유리화 또는 묶기

0/0 은 값이 아니라 "아직 모른다"는 신호. 정리하면 값이 나온다.

연속은 "구멍도 점프도 없다"예요. 세 가지를 확인해요: $a$에서 값이 있고, 극한이 있고, 둘이 같다.

$f$가 $x=a$에서 연속 $\Longleftrightarrow$ ⓘ $f(a)$ 존재 ⓘⓘ $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ 존재 ⓘⓘⓘ $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

구멍(ⓘ 또는 ⓘⓘⓘ 실패), 점프(ⓘⓘ 실패). 다항함수는 모든 실수에서 연속.

함께 생각하기 ②

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+3}$ 의 값은? (최고차항끼리)

3꼴 판정표 — 핵심 도구

극한 문제를 만나면 계산보다 먼저 대입해서 무슨 꼴인지 봐요. 꼴이 정해지면 기술은 하나로 정해져요.

대입 가능분모가 0이 아니면 그냥 대입. 다항식은 언제나 대입.

$\dfrac00$분자·분모를 인수분해해 공통인수 약분. 루트가 있으면 유리화. → 구멍 메우기

$\dfrac\infty\infty$최고차항으로 분모·분자를 나눈다. 차수가 같으면 계수비, 분모가 높으면 0, 분자가 높으면 발산.

$\infty-\infty$루트면 유리화(켤레 곱하기), 다항식이면 최고차항으로 묶기.

$\dfrac{c}{0}$ ($c\ne0$)극한값 없음(발산). 좌·우 부호를 보면 $+\infty$ / $-\infty$.

불변 앵커 극한은 도착이 아니라 방향이다. 대입해서 꼴을 확인하고, 0/0이면 구멍을 메운다.

꼴 판정 연습이에요. 대입부터 해 보세요.

4유형별 완전정복

네 가지 유형 모두 대입 → 꼴 판정 → 기술 순서예요. "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.

①

좌·우극한

양쪽에서 따로 다가가기

핵심 구간이 나뉜 함수는 경계에서 왼쪽 식과 오른쪽 식을 따로 대입. 같으면 극한 존재, 다르면 없음. 경계에서의 함숫값은 극한과 별개.

②

$\frac00$ 꼴

인수분해·유리화로 구멍 메우기

핵심 대입해서 0/0이면 분자·분모에 $(x-a)$가 숨어 있다. 인수분해로 찾아 약분. 루트는 켤레를 곱해 유리화.

③

$\frac\infty\infty$ · $\infty-\infty$ 꼴

누가 더 빨리 커지나

핵심 분모의 최고차항으로 나눈다. 같은 차수면 계수의 비, 분모가 높으면 0. $\sqrt{x^2+ax}-x$ 는 유리화하면 $\dfrac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}\to\dfrac a2$.

④

연속 · 미정계수

극한이 있으려면 분자도 0

핵심 $\dfrac{f(x)}{x-a}$의 극한이 존재하고 분모→0이면 분자→0이어야 한다($f(a)=0$). 연속 조건은 "좌극한 = 우극한 = 함숫값"을 식으로 세운다.

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 대입해서 꼴부터 판정하세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

🔍 극한과 연속 한 장 요약

극한도착이 아니라 방향. $f(a)$와 무관 · 좌 = 우 일 때만 존재

0/0인수분해·유리화 → 약분 → 대입

∞/∞최고차항으로 나누기 · 같은 차수면 계수비, 분모 높으면 0

∞−∞유리화(켤레) 또는 최고차항으로 묶기

연속$f(a)$ 존재 · 극한 존재 · 둘이 같다 (3조건)

미정계수분모→0인데 극한 존재 → 분자→0

📌 어른이 되어도 기억할 것

속도계의 "지금 속력"은 아주 짧은 시간 동안의 평균 속력의 극한이에요. 순간이라는 말 자체가 극한이에요.
$0.999\cdots=1$ 은 "9를 계속 붙이면 1에 한없이 가까워진다"가 아니라 그 극한이 정확히 1이라는 뜻. 극한은 근삿값이 아니라 정확한 값이에요.
컴퓨터는 극한을 쓸 수 없어서 아주 작은 간격으로 근사해요. 그 오차를 관리하는 것이 수치해석이라는 학문이에요.

💡 다음으로 이어지는 것

두 점 사이의 평균 기울기에서 두 점을 한없이 가깝게 하면 접선의 기울기, 즉 미분이에요. 직사각형을 한없이 가늘게 잘라 더하면 넓이, 즉 적분이에요. 미적분은 극한 두 개예요. 이 특강의 "가까워진다"가 그 둘의 공통 언어예요.

🏠 이미 보고 있던 곳

동영상을 "1초 뒤로" 하면 프레임이 튀지만(점프), 실제 움직임은 연속이에요. 지도 앱을 확대해도 해안선이 계속 나오는 것, 온도가 갑자기 뛰지 않는 것(연속), 주가가 장 마감 후 갭을 두고 시작하는 것(불연속)까지, 연속과 극한은 매일 보고 있어요.

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

수치해석(컴퓨터로 극한·미분·적분을 근사하는 학문), 컴퓨터 그래픽의 부드러운 곡선(연속 조건), 신호 처리의 샘플링(얼마나 촘촘해야 원래 신호가 되나), 금융 모델의 연속 시간 가정. 🎓 응용수학 · 컴퓨터공학 · 금융공학

단원 앱으로 이어서 → 함수의 극한 · 함수의 연속

관문 특강 · 극한 — "가까워진다"의 감각 · 미적분Ⅰ · 표준 커리큘럼 제작

	$x$	$f(x)$
왼쪽에서
오른쪽에서