반지름이 같은 원뿔·구·원기둥 (높이 모두 \(= 2r\))에서 구의 부피가 \(32\pi\) cm³입니다.
같은 조건의 원뿔과 원기둥의 부피는?
① 원뿔 \(16\pi\), 원기둥 \(48\pi\) cm³
② 원뿔 \(\dfrac{32}{3}\pi\), 원기둥 \(48\pi\) cm³
③ 원뿔 \(16\pi\), 원기둥 \(64\pi\) cm³
④ 원뿔 \(\dfrac{32}{3}\pi\), 원기둥 \(32\pi\) cm³
잠깐 생각해 봐요 🤔
원뿔:구:원기둥 = 1:2:3 관계를 거꾸로 이용해요.
구 = 32π → 원뿔 = 32π ÷ 2, 원기둥 = 32π × (3/2)
Step 1 / 2
1:2:3 비율을 역산에 활용해요
원뿔:구:원기둥 = 1:2:3 → 구를 기준으로 나머지를 구할 수 있어요.
📖 용어 노트 |
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ ·
모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
비율 관계 정리
원뿔비율 1
구비율 2
원기둥비율 3
1
구:원뿔 = 2:1 → 원뿔 = 구 × \(\dfrac{1}{2}\)
2
구:원기둥 = 2:3 → 원기둥 = 구 × \(\dfrac{3}{2}\)
Step 2 / 2
구 = 32π를 대입해요
구의 부피 \(32\pi\)에 비율을 곱해서 원뿔과 원기둥을 구해요.
📖 용어 노트 |
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ ·
모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
원뿔과 원기둥 계산
1
원뿔 \(= 32\pi \times \dfrac{1}{2} = 16\pi\) cm³
2
원기둥 \(= 32\pi \times \dfrac{3}{2} = 48\pi\) cm³
⚠ 자주 나오는 오답 분석
• ② 원뿔 \(\dfrac{32}{3}\pi\): 구 부피 \(\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 32\pi\)에서 \(r^3\)만 구해서 \(\dfrac{1}{3}\pi r^3 \cdot 2r\)을 직접 계산한 경우. 비율 활용이 더 빠르고 안전해요.
• ③ 원기둥 \(64\pi\): 원기둥 = 구 × 2로 잘못 계산 (3:2가 아님)