문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
유형 4 · H3
직각변이 $3$ cm, $4$ cm이고 빗변이 $5$ cm인 직각삼각형을 높이가 $4$인 직각변을 축으로 한 바퀴 돌렸어요. 만들어지는 원뿔의 부피와 옆넓이를 차례로 쓰면?
① $12\pi$ cm³, $15\pi$ cm² ② $16\pi$ cm³, $20\pi$ cm² ③ $12\pi$ cm³, $20\pi$ cm² ④ $16\pi$ cm³, $15\pi$ cm²
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
축 = 길이 $4$ 직각변 → 높이 $h=4$, 반지름 $r=3$, 모선 $l=5$(빗변). 부피와 옆넓이 각각 계산해요.
1단계 · Page 1
r, h, l 결정
왜 이 단계? — 회전 결과 원뿔의 세 값(반지름, 높이, 모선)을 먼저 확정해요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
회전 결과
축 = 길이 $4$인 직각변 → 이 변이 원뿔의 높이
높이 $h = 4$ cm (회전축 변)
반지름 $r = 3$ cm (다른 직각변 → 밑면 원 반지름)
모선 $l = 5$ cm (빗변 → 꼭짓점에서 밑면 가장자리까지)
💡 핵심 직관
직각삼각형의 빗변이 회전할 때 원뿔 옆면(부채꼴)을 그리므로, 빗변 = 모선 $l$이 됩니다.
2단계 · Page 2
부피와 옆넓이 계산
왜 이 단계? — 부피는 $h$, 옆넓이는 $l$. 혼동 없이 계산해요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
부피 (h 사용)
$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ cm³
옆넓이 (l 사용)
$S_{옆} = \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$ cm²
⚠️ ★★★ 바꿔치기 함정!
부피에 $l=5$ 쓰면: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 5 = 15\pi$ (오답)
옆넓이에 $h=4$ 쓰면: $\pi \times 3 \times 4 = 12\pi$ (오답)
두 값이 정확히 맞바뀌어 보여서 선지 ③ 헷갈리게 만들어요!
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
① 부피 $12\pi$ cm³, 옆넓이 $15\pi$ cm²
(부피: $h=4$, 옆넓이: $l=5$)
전체 풀이 흐름
1
축=$4$ → $r=3$, $h=4$, $l=5$(빗변)
2
부피 $= \frac{1}{3}\pi\times 9\times 4 = 12\pi$ cm³
3
옆넓이 $= \pi\times 3\times 5 = 15\pi$ cm²