문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
유형 3 · H2
원기둥 옆면을 펼친 직사각형의 가로 $6$, 세로 $8$로 놓고 계산할 때, 이 직사각형의 대각선 길이는?
① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $14$
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
직사각형 대각선 = 두 변을 두 직각변으로 하는 직각삼각형의 빗변. 피타고라스 $c^2 = a^2 + b^2$.
1단계 · Page 1
전개도 직사각형 파악
왜 이 단계? — 원기둥 옆면을 펴면 직사각형이 돼요. 이 직관이 핵심이에요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
원기둥 전개도
원기둥의 옆면을 펼치면 직사각형이 돼요:
가로 = 밑면 원 둘레 = $2\pi r$
세로 = 원기둥의 높이 $h$
이 문제에서는 가로 $6$, 세로 $8$인 직사각형으로 단순화했어요.
대각선 계산 — 피타고라스 정리
$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10$
$(6, 8, 10)$은 $(3, 4, 5)$ 피타고라스 수의 2배예요.
2단계 · Page 2
카발리에리 연결 — "곡면을 펴서 평면처럼"
왜 이 단계? — 이 문제의 깊은 아이디어를 이해해봐요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
핵심 아이디어
원기둥의 곡면을 "펼치면" 평면(직사각형)이 돼요. 이 전개도 위에서 직각삼각형 계산이 가능해져요.
곡면(3D) → 전개도(2D) → 피타고라스 정리 적용
카발리에리가 바로 이런 아이디어를 사용했어요 — "단면을 통해 입체를 이해하기".
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
③ $10$
($6^2 + 8^2 = 100$ → $\sqrt{100} = 10$)
전체 풀이 흐름
1
원기둥 옆면 펼침 → 가로 $6$, 세로 $8$ 직사각형
2
대각선 $= \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$
3
$(6, 8, 10)$ = 3-4-5의 2배 피타고라스 수