문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
유형 2 · H2
두 사각뿔 A, B가 있어요. A는 밑넓이 $12$ cm², 높이 $9$ cm. B는 밑넓이 $18$ cm², 높이 $6$ cm. 두 부피의 비 $V_A : V_B$는?
① $1 : 1$ ② $2 : 3$ ③ $3 : 2$ ④ $4 : 3$
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
$V = \frac{1}{3}Sh$. 각각 계산해보고 비율을 구해봐요.
1단계 · Page 1
각 사각뿔의 부피 계산
왜 이 단계? — $V = \frac{1}{3}Sh$ 공식 각각 적용해요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
사각뿔 A
$V_A = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 9 = \dfrac{108}{3} = 36$ cm³
사각뿔 B
$V_B = \dfrac{1}{3} \times 18 \times 6 = \dfrac{108}{3} = 36$ cm³
💡 놀라운 결과
$S \times h$가 A는 $12 \times 9 = 108$, B는 $18 \times 6 = 108$ — 같아요! 그래서 두 부피가 같아요.
2단계 · Page 2
카발리에리 원리와의 연결
왜 이 단계? — 이 결과가 왜 나오는지 직관적으로 이해해봐요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
카발리에리 원리
부피 공식이 $\frac{1}{3} \times S \times h$이므로, $S \times h$의 값이 같으면 부피도 같아요.
A: $S \times h = 12 \times 9 = 108$
B: $S \times h = 18 \times 6 = 108$
→ 두 부피 동일!
⚠️ 함정 선지 분석
② $2:3$은 밑넓이 비($12:18 = 2:3$) — 부피 비와 혼동
③ $3:2$는 높이 비($9:6 = 3:2$) — 역시 부피 비와 다름
두 조건(밑넓이와 높이) 모두를 $\frac{1}{3}Sh$로 통합해야 정확한 부피 비가 나와요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
① $1 : 1$
($Sh$가 같으면 각뿔 부피도 같음)
전체 풀이 흐름
1
$V = \frac{1}{3}Sh$로 각각 계산
2
$V_A = \frac{1}{3}\times 12 \times 9 = 36$ cm³
3
$V_B = \frac{1}{3}\times 18 \times 6 = 36$ cm³
4
$V_A : V_B = 36 : 36 = 1 : 1$