문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
유형 1 · H3
두 정육면체 A와 B가 있어요. A의 모서리는 B의 $2$배예요. A의 부피는 B의 부피의 몇 배인가요?
① $2$배 ② $4$배 ③ $6$배 ④ $8$배
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
B의 모서리를 $a$라 하면 A의 모서리는 $2a$예요. 각각 부피를 구해서 비율을 계산해보세요.
1단계 · Page 1
문자로 놓고 표현하기
왜 이 단계? — 구체적인 숫자 없이 "2배"라는 조건만 있어요. 문자를 써서 일반화하면 쉬워져요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
문자 설정
B의 모서리를 $a$라 하면:
B의 모서리 = $a$
A의 모서리 = $2a$ (B의 2배)
각 부피 표현
$V_B = a^3$
$V_A = (2a)^3 = 2^3 \times a^3 = 8a^3$
💡 핵심 포인트
$(2a)^3$을 계산할 때 $2$와 $a$ 모두 세제곱해야 해요.
$2^3 = 8$이고, $a^3$은 그대로. 그래서 $8a^3$이에요.
2단계 · Page 2
부피 비율 계산
왜 이 단계? — 두 부피의 비를 구해요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
비율 계산
$\dfrac{V_A}{V_B} = \dfrac{8a^3}{a^3} = 8$
A의 부피는 B의 부피의 8배예요.
구체적인 숫자로 확인
예를 들어 B의 모서리가 $1$ cm, A의 모서리가 $2$ cm라면:
$V_B = 1^3 = 1$ cm³
$V_A = 2^3 = 8$ cm³
비율 = $8 \div 1 = 8$배 ✓
3단계 · Page 3
일반화 — 겉넓이와 부피의 차이
왜 이 단계? — 이 유형에서 자주 나오는 응용. 겉넓이 변화와 부피 변화가 다르다는 점을 이해해요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
모서리 $k$배일 때 변화
부피: $k$배 → 부피 $k^3$배 (세제곱만큼 커짐)
겉넓이: $k$배 → 겉넓이 $k^2$배 (제곱만큼 커짐)
이 문제에서 $k = 2$이므로:
부피 → $2^3 = 8$배
겉넓이 → $2^2 = 4$배
⚠️ 흔한 실수
"모서리가 2배이므로 부피도 2배"라고 생각하면 틀려요!
부피는 3차원이라 세제곱으로 커져요 → 2배 → $2^3 = 8$배.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
④ $8$배
(모서리 2배 → 부피 $2^3 = 8$배)
전체 풀이 흐름
1
B의 모서리 $= a$, A의 모서리 $= 2a$로 설정
2
$V_B = a^3$, $V_A = (2a)^3 = 8a^3$
3
$V_A / V_B = 8a^3 / a^3 = 8$배
⚠️ 일반 공식 기억하기
모서리 $k$배 → 부피 $k^3$배 / 겉넓이 $k^2$배
선지 ②($4$배)는 겉넓이 변화율 — 부피와 헷갈리지 마세요!