문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
다면체: 다각형으로만 둘러싸인 입체도형 ·
꼭짓점(V)·모서리(E)·면(F) ·
오일러 공식: $V-E+F=2$ ·
정다면체: ①모든 면이 합동인 정다각형 ②각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같음 ·
회전체: 평면도형을 직선(축) 주위로 1회전시켜 만든 입체
유형 7 · H1
사각기둥과 사각뿔이 한 사각형 면을 정확히 공유하면서 위로 결합되어 있어요.
만들어진 입체의 면($F$), 모서리($E$), 꼭짓점($V$) 수를 구하고
오일러 공식 $V - E + F = 2$ 를 검증하세요.
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
사각기둥의 V, E, F와 사각뿔의 V, E, F를 각각 구해보세요. 두 개를 합칠 때 어떤 부분이 사라지나요?
1단계 · Page 1
각 입체의 V, E, F 구하기
왜 이 단계? — 두 입체를 합치기 전에 각각의 V, E, F를 먼저 파악해요.
📖 용어 노트
$n$각기둥: $V=2n, E=3n, F=n+2$ ·
$n$각뿔: $V=n+1, E=2n, F=n+1$
사각기둥 (n=4)
$V = 2 \times 4 = 8$
$E = 3 \times 4 = 12$
$F = 4 + 2 = 6$
사각뿔 (n=4)
$V = 4 + 1 = 5$
$E = 2 \times 4 = 8$
$F = 4 + 1 = 5$
2단계 · Page 2
공유 부분 파악 — 무엇이 사라지나?
왜 이 단계? — 두 입체가 공유면으로 붙을 때 없어지는 요소를 찾아요.
📖 용어 노트
공유 = 겹치는 부분. 결합 후 내부에 숨어버리는 것들을 빼요.
공유 부분 분석
사각기둥 위쪽 면 = 사각뿔 아래쪽 면 (정확히 겹침)
꼭짓점: 사각형 꼭짓점 4개 공유 → $-4$
모서리: 사각형 변 4개 공유 → $-4$
면: 양쪽에서 각 1개씩 사라짐 → $-2$
(사각기둥 윗면 + 사각뿔 아랫면이 내부로 들어가 사라짐)
3단계 · Page 3
결합 결과 계산
왜 이 단계? — 각각의 합에서 공유 부분을 빼서 최종 V, E, F를 구해요.
📖 용어 노트
결합 공식: 합 - 공유 부분 = 결합 후 값
최종 계산
$V = 8 + 5 - 4 = \mathbf{9}$
$E = 12 + 8 - 4 = \mathbf{16}$
$F = 6 + 5 - 2 = \mathbf{9}$
⚠️ 면을 -1이 아닌 -2로 빼는 이유
사각기둥 윗면(1개) + 사각뿔 아랫면(1개) 총 2개가 내부에 숨어서 보이지 않아요!
꼭짓점·모서리는 공유된 4개만 빼면 되지만, 면은 양쪽에서 각 1개씩 총 2개를 빼야 해요.
정답 · Page ★
정답 + 오일러 검증
📖 용어 노트
결합 입체 V, E, F: 각각 합산 후 공유 부분(꼭짓점·모서리·면) 빼기
$V = 9$, $E = 16$, $F = 9$
오일러: $9 - 16 + 9 = 2$ ✓
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
사각기둥: $V=8, E=12, F=6$ · 사각뿔: $V=5, E=8, F=5$
2
공유: 꼭짓점 4, 모서리 4, 면 2(양쪽 각 1개씩)