유형 7 — 종합 (입체 추론)

정삼각형 4개로 이루어진 전개도를 접으면 어떤 입체가 되나요?
① 정사면체 ② 정육면체 ③ 정팔면체 ④ 사각뿔

정삼각형이 4개. 정다면체 중에서.

① 정사면체
정사면체 = 정삼각형 4개 + 모든 면 합동 + 모든 꼭짓점에 3개씩 모임.
정팔면체는 정삼각형 8개, 정이십면체는 20개.

옆면이 직사각형 1개 + 윗·아래 밑면이 원 2개로 이루어진 전개도를 접으면 어떤 입체가 되나요?
① 원뿔 ② 원기둥 ③ 구 ④ 원뿔대

옆면이 직사각형 = 원기둥의 옆면.

② 원기둥
원기둥의 전개도 = 직사각형(옆면) + 원 2개(밑면).

단면이 항상 원이고, 어떻게 잘라도 단면이 원인 입체는?
① 원기둥 ② 원뿔 ③ 구 ④ 정육면체

원기둥은 축단면이 직사각형. 원뿔은 축단면이 삼각형.

③ 구
구는 어떻게 잘라도 단면이 원. 다른 회전체는 축단면이 직사각형/삼각형/사다리꼴 등.

어떤 회전체의 축단면이 이등변삼각형이었어요. 이 회전체는?
① 원기둥 ② 원뿔 ③ 원뿔대 ④ 구

회전체 축단면 표 떠올리기.

② 원뿔
원뿔의 축단면 = 이등변삼각형 (회전 전 직각삼각형 + 거울상).
원기둥 → 직사각형, 원뿔대 → 사다리꼴, 구 → 원.

반지름 $5$ 인 원기둥과 반지름 $3$ · 모선 $5$ 인 원뿔을 밑면이 일치하도록 붙였을 때, 만들어진 입체에 대한 설명으로 옳은 것은?
① 회전체이다 ② 다면체이다 ③ 회전체이지만 옆면이 모두 평면이다 ④ 정다면체이다

두 회전체를 붙이면? 다만 두 입체의 반지름 차이는 별개로.

① 회전체이다
원기둥과 원뿔은 둘 다 회전체. 두 회전체를 같은 회전축으로 붙이면 결과도 회전체. (옆면에 곡면이 있으므로 다면체 아님.)
⚠️ 반지름이 다르므로 만들어진 입체는 옆면에 단차가 있음 — 그래도 회전체.

정사면체와 정팔면체에서 한 꼭짓점에 모이는 면의 수의 합은?

정사면체 한 꼭짓점에 정삼각형 3개. 정팔면체는 4개.

$7$
정사면체: 한 꼭짓점에 정삼각형 3개
정팔면체: 한 꼭짓점에 정삼각형 4개
합 = $3 + 4 = 7$.

사각기둥과 사각뿔이 한 사각형 면을 정확히 공유하면서 위로 결합되어 있어요. 만들어진 입체의 면, 모서리, 꼭짓점 수 ($F, E, V$)를 구하고 오일러 공식 검증.

사각기둥 V·E·F + 사각뿔 V·E·F − 공유부분.

$V = 9, E = 16, F = 9$ ; $V-E+F = 2$ ✓
사각기둥: $V=8, E=12, F=6$.
사각뿔: $V=5, E=8, F=5$.
공유: 사각형 한 면 $\to$ 면 1 사라짐 (양쪽에서). 꼭짓점 4 공유, 모서리 4 공유.
$V = 8+5-4 = 9$
$E = 12+8-4 = 16$
$F = 6+5-2 = 9$
오일러: $9-16+9 = 2$ ✓

어떤 다면체의 모든 면이 정삼각형이고 모서리가 $30$, 꼭짓점이 $12$ 일 때, 면의 수와 이 다면체의 이름을 추측하세요.

오일러 $V-E+F=2$. 그리고 정삼각형 면 정다면체 3종 중에서.

면 $20$ → 정이십면체
$V-E+F=2$ → $12 - 30 + F = 2$ → $F = 20$.
정삼각형 면, 모서리 30, 꼭짓점 12, 면 20 → 정이십면체.

아래 평면도형을 회전축 둘레로 1회전 시키면 어떤 모양의 회전체가 되나요?

① 큰 원기둥에서 작은 원기둥을 빼낸 모양 ② 원뿔대 ③ 두 원기둥이 결합 ④ 도넛 모양

ㄱ자 = 큰 직사각형에서 위쪽 부분(작은 직사각형)을 잘라낸 모양. 회전하면?

① 큰 원기둥에서 작은 원기둥을 빼낸 모양
ㄱ자 평면도형 = 큰 직사각형 − 작은 직사각형. 회전하면 큰 원기둥(60$\to$130) − 작은 원기둥(위쪽 60$\to$100).
결과: 윗부분에 둥근 단차가 있는 원기둥 — 마치 음료수 컵에 뚜껑 자리가 있는 모양.
💡 두 직사각형의 차 → 두 원기둥의 차 (도형의 합·차 보존).