문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
다면체: 다각형으로만 둘러싸인 입체도형 ·
꼭짓점(V)·모서리(E)·면(F) ·
오일러 공식: $V-E+F=2$ ·
정다면체: ①모든 면이 합동인 정다각형 ②각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같음 ·
회전체: 평면도형을 직선(축) 주위로 1회전시켜 만든 입체
유형 3 · H3
정십이면체와 정이십면체에서 $V$, $E$, $F$ 의 값을 비교해서 신기한 점을 발견할 수 있어요. 무엇인가요?
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
정십이면체: $V=20, E=30, F=12$
정이십면체: $V=12, E=30, F=20$
무엇이 같고 무엇이 달라졌나요?
1단계 · Page 1
두 정다면체 V, E, F 비교
왜 이 단계? — 두 수치를 나란히 놓고 패턴을 발견해요.
📖 용어 노트
5가지 정다면체: 정사면체(4), 정육면체(6), 정팔면체(8), 정십이면체(12), 정이십면체(20)
두 정다면체 비교표
정십이면체: $V = 20$, $E = 30$, $F = 12$
정이십면체: $V = 12$, $E = 30$, $F = 20$
무엇이 보이나요?
발견!
두 입체에서 $E = 30$으로 같아요!
$V$와 $F$는 서로 맞바뀌었어요.
(정십이: $V=20, F=12$) ↔ (정이십: $V=12, F=20$)
2단계 · Page 2
쌍대(dual) 개념 + 오일러 검산
왜 이 단계? — 이 현상의 이름과 원리, 그리고 정육면체·정팔면체 쌍대도 함께 확인해요.
📖 용어 노트
쌍대(dual): 두 다면체에서 $V$와 $F$가 서로 바뀌는 관계
쌍대 관계 정리
정육면체($V=8, E=12, F=6$) ↔ 정팔면체($V=6, E=12, F=8$)
정십이면체($V=20, E=30, F=12$) ↔ 정이십면체($V=12, E=30, F=20$)
정사면체 ↔ 정사면체 (자기 자신과 쌍대!)
오일러 검산
정십이: $20 - 30 + 12 = 2$ ✓
정이십: $12 - 30 + 20 = 2$ ✓
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
쌍대(dual): $V$와 $F$가 서로 맞바뀌고 $E$는 동일한 관계
$V$와 $F$가 서로 맞바뀌고 $E = 30$으로 같아요
(쌍대 dual 관계 — 케플러도 이 관계에 매료되었어요)
전체 풀이 흐름 — 3단계
1
두 정다면체 $V, E, F$ 표 작성: 정십이($V=20, E=30, F=12$), 정이십($V=12, E=30, F=20$)
2
$E$는 같고, $V$와 $F$가 서로 맞바뀜 발견
3
쌍대 관계 → 정육면체·정팔면체도 동일한 쌍대, 정사면체는 자기 자신과 쌍대
💡 케플러와의 연결
Unit 11의 주인공 케플러도 이 정다면체들의 아름다운 관계를 연구했어요. 우주의 비밀이 정다면체에 있다고 믿었거든요!